Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге ) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами . Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году .

Формулировка

Если ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ — компактное пространство , ${\displaystyle A}$ — множество , содержащее хотя бы по одной точке из каждой ограниченной связной компоненты множества ${\displaystyle {\mathbb {C} }\setminus K}$ и ${\displaystyle f}$ голоморфная в окрестности ${\displaystyle K}$ , то существует последовательность рациональных функций ${\displaystyle \{r_{n}\}}$ с полюсами во множестве ${\displaystyle A}$ , приближающая функцию ${\displaystyle f}$ равномерно.

Обобщения

Всякая голоморфная в произвольной области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ функция может быть равномерно приближена последовательностью рациональных функций с полюсами вне ${\displaystyle D}$ , это утверждение также фигурирует как теорема Рунге .

Ещё более общий результат — теорема Мергеляна , утверждающая о необходимости и достаточности для равномерного приближения многочленами функции, голоморфной внутри компакта ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ и непрерывной на нём, голоморфного продолжения во все ограниченные связные компоненты множества ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash K}$ .

Литература

Рунге Теорема — статья из Математической энциклопедии . Чирка Е. М.

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Проставить сноски , внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.