Проект «Математика» (уровень III, важность для проекта высокая) Эта статья тематически связана с вики-проектом «Математика» , цель которого — создание и улучшение статей по темам, связанным с математикой . Вы можете , а также присоединиться к проекту , принять участие в его обсуждении и поработать над требуемыми статьями . III Уровень статьи по шкале оценок проекта : в развитии Высокая Важность статьи для проекта « Математика »: высокая

Переместите пожалуйста "введение в понятие" вниз, так как сейчас оно выше определения слова...-- Tookser 15:52, 19 октября 2010 (UTC) [ ]

• ВП:Правьте смело (особенно если инфа - c ВП:АИ ). Fractaler 12:55, 20 октября 2010 (UTC) [ ]

С моей точки зрения, статья «Квантор» в своём нынешнем виде удовлетворяет не только духовным потребностям россиян (то есть лиц, которые принадлежат множеству «многонациональный народ Российской Федерации», упоминаемому в конституции РФ), но и духовным потребностям советских людей (то есть лиц, которые принадлежат множеству «советский народ», упоминаемому в последней конституции СССР).

Вместе с тем, я предполагаю, что статья «Квантор» не является нематериальным активом для Словопоклонников, то есть лиц, которые:

1) считают, что «В начале было Слово, и Слово было [связано] с Богом, и Слово было Богом.»,

2) придают исключительное значение вербальным средствам:

2.1) формулирования предупреждений об опасности,

2.2) моделирования окружающего мира,

2.3) прогнозирования событий

и т. д.,

3) отличаются от огнепоклонников, солнцепоклонников, идолопоклонников и т. д.

Примечание. Примером Словопоклонника является Чарльз Пирс - автор статьи "How to Make Our Ideas Clear" (1878)

NB. В английском предложении «In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God.» нет ни одного имени нарицательного. [Это предложение является высказыванием, а не предикатом.]

NB. На мой взгляд:

предикат из статьи " ${\displaystyle x}$ делится на 9." правильнее сформулировать по-русски так: «Какое-то натуральное число делится на 9.»,

предикат из статьи "Простое число ${\displaystyle x}$ нечётно." правильнее сформулировать по-русски так: «Какое-то простое число нечётно.»

этого можно не делать, если авторы статьи считают, что предикаты от одной переменной невыразимы в русском языке без латинской буквы ${\displaystyle x}$ .

NB. В математике кванторы появились благодаря деятельности представителей англоязычного мира (например, американца Чарльза Пирса, умершего в нищете) и представителей немецкоязычного мира (например, немца Герхарда Генцена, умершего в заключении от истощения). Представители других миров (например, арабоязычного) не упоминаются среди родоначальников кванторов.

NB. Теперь я расскажу о том, чего авторы статьи "Квантор" не нашли в "авторитетных источниках".

1. Математики, включая логиков, имеют дело с постоянными и переменными.

Примерами логических постоянных являются повествовательные предложения типа:

Девушка Саша любит юношу Мишу. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ Саша ${\displaystyle \ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ }$ Миша ${\displaystyle \ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ }$ Cаша любит Мишу. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ The girl Sasha loves the young man Misha.

Эта девушка любит того юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ эта девушка ${\displaystyle \ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ }$ тот юноша ${\displaystyle \ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ }$ Эта девушка любит того юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ This girl loves that young man.

Примерами логических переменных являются повествовательные предложения типа:

Какая-то девушка любит юношу Мишу. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ }$ Миша ${\displaystyle \ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит Мишу ${\displaystyle .\Leftrightarrow \ x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит юношу Мишу.

A girl loves the young man Misha. ${\displaystyle \Leftrightarrow \{x\}\subset \ }$ {Girls} ${\displaystyle \ \land \ 2\leqslant \ }$ |{Girls}| ${\displaystyle \ \leqslant \aleph _{0}\land x}$ loves the young man Misha.

Девушка Саша любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ Саша ${\displaystyle \ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ }$ Cаша любит ${\displaystyle y.\Leftrightarrow y\in }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ }$ девушка Cаша любит ${\displaystyle y.}$

The girl Sasha loves a young man. ${\displaystyle \Leftrightarrow \{y\}\subset \ }$ {Young men} ${\displaystyle \ \land \ 2\leqslant \ }$ |{Young men}| ${\displaystyle \ \leqslant \aleph _{0}\ \land \ }$ the girl Sasha loves ${\displaystyle y.}$

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит ${\displaystyle y.}$

A girl loves a young man. ${\displaystyle \Leftrightarrow \{x\}\subset \ }$ {Girls} ${\displaystyle \ \land \ 2\leqslant \ }$ |{Girls}| ${\displaystyle \ \leqslant \aleph _{0}\ \land \ \{y\}\subset \ }$ {Young men} ${\displaystyle \ \land \ 2\leqslant \ }$ |{Young men}| ${\displaystyle \ \leqslant \aleph _{0}\ \land \ x}$ loves ${\displaystyle y.}$

2, Логики называют вышеуказанные логические постоянные высказываниями, а вышеуказанные логические переменные предикатами.

3. В каждом предикате есть по меньшей мере один аргумент (например, по имени ${\displaystyle x}$ ), благодаря которому мы воспринимаем предикат как предложение с хотя бы одним именем нарицательным. Зато в каждом высказывании нет ни одного аргумента, вследствие чего мы воспринимаем высказывание как предложение, в котором нет ни одного имени нарицательного.

4. Если предикат содержит ${\displaystyle n}$ аргументов ( ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}}$ ). тогда естественно возникают следующие два вопроса:

4.1) можно ли преобразовать предикат с ${\displaystyle n}$ аргументами в предикат с ${\displaystyle n-1}$ аргументами?,

4.2) как можно преобразовать предикат с ${\displaystyle n}$ аргументами в предикат с ${\displaystyle n-1}$ аргументами?

5. Ответ на вопрос 4.1 утвердительный, то есть любой предикат с ${\displaystyle n}$ аргументами можно преобразовать в предикат с ${\displaystyle n-1}$ аргументами. Поясним сказанное на примере с предикатом "A girl loves a young man.", в котором фигурируют два имени нарицательных "a girl" и "a young man". Заменяя один из неопределённых артиклей "а" (например, второй) на определённый артикль "the", мы получаем предикат "A girl loves the young man.", в котором осталось только одно имя нарицательное "a girl".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квантификацией называется операция преобразования предиката с ${\displaystyle n}$ аргументами в предикат с ${\displaystyle n-1}$ аргументами, где ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}}$ .

6. Чтобы получить ответ на вопрос 4.2 с точки зрения англичанина, рассмотрим вначале примеры квантификации английского предиката "A girl loves a young man." [с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом]. Имеем:

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ A girl loves the young man .

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ A girl loves that young man .

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ A girl loves some young man .

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ A girl loves any young man .

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ A girl loves at least one young man .

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ A girl loves at most one young man .

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ A girl loves only one young man .

Из этих примеров видно, что англичане квантифицируют английские предикаты со служебным словом "а", заменяя его на служебные слова "the", "that", "some", "any", "at least one", "at most one", "only one" и т. п.

Примечание: Видимо, английский мыслитель Томас Гоббс называл упомянутые служебные слова "частями имён".

Примечание: Кроме того, англичане могут квантифицировать предложение "A girl loves a young man." неявным образом, а именно:

A girl loves a young man . ${\displaystyle \mapsto }$ There is a young man who is loved by a girl.

7. Чтобы получить ответ на вопрос 4.2 с точки зрения математика, дадим определение понятию "квантор".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квантор (квантифицирующий оператор) - это оператор, который каким-то образом преобразует предикат с ${\displaystyle n}$ аргументами в предикат с ${\displaystyle n-1}$ аргументами, путём исключения [из рассмотрения] одного из аргументов во втором из упомянутых предикатов.

Если ${\displaystyle P[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m},x_{m+1},...x_{n}]}$ - какой-то предикат с ${\displaystyle n}$ аргументами, ${\displaystyle Q}$ - какой-то квантор, ${\displaystyle x_{m}}$ - исключаемый аргумент, тогда ${\displaystyle Qx_{m}(P[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m},x_{m+1},...x_{n}])=R[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m+1},...x_{n}]}$ , где ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m+1},...x_{n}]}$ - предикат с ${\displaystyle n-1}$ аргументами, среди которых нет аргумента ${\displaystyle x_{m}}$

Примеры явной квантификации предиката с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto \ }$ эта девушка ${\displaystyle \ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ }$ эта девушка любит ${\displaystyle y.\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow True\land y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ }$ эта девушка любит ${\displaystyle y.\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow y\in }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ }$ эта девушка любит ${\displaystyle y.\Leftrightarrow }$ Эта девушка любит какого-то юношу.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto \ x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ \ }$ тот юноша ${\displaystyle \ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит того юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ True\ \land x\ }$ любит того юношу ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow x\in }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ x\ }$ любит того юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Какая-то девушка любит того юношу.

Примеры неявной квантификации предиката с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto \exists ^{=1}y(x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит ${\displaystyle y)\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ \exists ^{=1}y(y\ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит ${\displaystyle y.)\Leftrightarrow }$ Какая-то девушка любит только одного юношу.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto \exists ^{\geqslant 1}y(x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит ${\displaystyle y)\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ \exists ^{\geqslant 1}y(y\ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит ${\displaystyle y.)\Leftrightarrow }$ Какая-то девушка любит хотя бы одного юношу.

8. Кванторов столько же, сколько натуральных чисел. Но каждый квантор, с помощью которого осуществляется неявная квантификация предикатов, можно записать в виде комбинации логических связок с по меньшей мере одним квантором существования ${\displaystyle \exists }$

Примеры

${\displaystyle \exists ^{\geqslant 1}x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \exists x(P[...,x,...])}$ , где ${\displaystyle P[...,x,...]}$ - предикат со сколькими-то аргументами, включая аргумент ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \exists ^{=1}x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \exists x(P[...,x,...]\land \neg (\exists y(y\neq x\land P[...,y,...])))}$ ,

${\displaystyle \exists ^{=0}x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \neg (\exists x(P[...,x,...]))}$

${\displaystyle \forall x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \neg (\exists x(\neg P[...,x,...]))}$

9. Недоквантификация предиката - это преобразование предиката, при котором один из его аргументов частично исключается из рассмотрения.

Примеры недоквантификации предиката с двумя аргументами.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto y\ \in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит ${\displaystyle y\Leftrightarrow }$ Кой-кто или кой-что любит какого-то юношу.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto x\ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ x}$ любит ${\displaystyle y\Leftrightarrow }$ Какая-то девушка любит кой-кого или кой-что.

10. Вздорная квантификация предиката - это такое преобразование предиката, при котором один из его аргументов исключается частично или полностью, но в результате этого исключения получается галиматья.

Примеры вздорной квантификации предиката с двумя аргументами.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto \ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\Leftrightarrow }$ Галиматья [из-за удаления аргумента ${\displaystyle x}$ в предложении " ${\displaystyle x\in \ }$ {девушки}"].

Какая-то девушка любит какого-то юношу. ${\displaystyle \Leftrightarrow x\in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land x}$ любит ${\displaystyle y.\ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto \ \in \ }$ {Девушки} ${\displaystyle \ \land \ y\in \ }$ {Юноши} ${\displaystyle \ \land }$ любит ${\displaystyle y.\Leftrightarrow }$ Галиматья [из-за удаления аргумента ${\displaystyle x}$ в предложениях " ${\displaystyle x\in \ }$ {девушки}" и " ${\displaystyle x}$ любит ${\displaystyle y}$ ."]

NB Используя кванторы, можно понять некоторые особенности английского языка и, следовательно, англоязычного мышления.

Англичанин может преобразовать предикат с одним аргументом "A book is on the table." в высказывание по меньшей мере двумя способами. Я имею в виду следующие способы:

A book is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow \{x\}\subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ x}$ is on the table. ${\displaystyle \ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto }$ {the book} ${\displaystyle \ \subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ 2\leqslant \ }$ |{Books}| ${\displaystyle \ \leqslant \aleph _{0}\ \land }$ the book is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow True\ \land \ True\ \land }$ the book is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ The book is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Книга [находится] на столе.

A book is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow \{x\}\subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ x}$ is on the table. ${\displaystyle \ \mapsto }$

${\displaystyle \mapsto \exists x(\{x\}\ \subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ 2\leqslant \ }$ |{Books}| ${\displaystyle \ \leqslant \aleph _{0}\ \land x}$ is on the table.) ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ There is a book on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ На столе [есть] книга.

Примечание 1: Видимо, Чарльз Пирс понимал, что предикат "A book is on the table." преобразуется с помощью явной квантификации в высказывание "The book is on the table.", a c помощью неявной квантификации в высказывание "There is a book on the table."

Примечание 2: Русскоязычный переводчик мыслит не логически, а риторически ("темами" и "ремами"). Поэтому русскоязычный переводчик преобразует:

предикат "A book is on the table." и высказывание "There is a book on the table" в предложение "На столе есть книга.",

высказывание "The book is on the table." в предложение "Книга на столе." (см. English by В.Р. Гундризер, А.С. Ланда, стр. 272)

NB Используя кванторы, можно понять связь между "грамматическими числами" и натуральными числами.

Предикат "A book is on the table." можно записать иначе, а именно:

A book is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow \{x\}\subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ x}$ is on the table. ${\displaystyle \ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \{x\}\subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in \{x\}\rightarrow y}$ is on the table.) ${\displaystyle \ \land \ |\{x\}|=1\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow X\subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\rightarrow y}$ is on the table.) ${\displaystyle \ \land \ |X|=1}$

Примечание: ${\displaystyle |X|=1\Leftrightarrow X=\{x\}\Leftrightarrow x\in X\land \neg (\exists y(y\neq x\land y\in X))}$

Примечание: A book is on the table. ${\displaystyle \Rightarrow 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=1}$

В свою очередь, предикат "Books are on the table." можно записать в виде.

Books are on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow X\subset \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\rightarrow y}$ is on the table.) ${\displaystyle \ \land \ |X|\geqslant 2}$

Примечание: ${\displaystyle |X|\geqslant 2\Leftrightarrow x_{1}\neq x_{2}\land \{x_{1},x_{2}\}\subseteq X\Leftrightarrow x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in X\land x_{2}\in X}$

Примечание: Books are on the table. ${\displaystyle \Rightarrow 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|\geqslant 2}$

Примечание: Раньше в англоязычном мире множество натуральных чисел ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ начиналось с числа 1, но теперь это множество начинается с числа 0, то есть ${\displaystyle {\mathbb {N} }=}$ {0 (nought), 1 (one), 2 (two), 3 (three), 4 (four), ... }.

Если натуральное число ${\displaystyle n}$ предшествует имени существительному и ${\displaystyle n=1}$ , тогда существительное произносится в единственном числе (например: one man, one hour).

Если натуральное число ${\displaystyle n}$ предшествует имени существительному и ${\displaystyle n\neq 1}$ , тогда существительное произносится во множественном числе (например: nought men, nought hours; two men, two hours; three men, three hours).

Если имени существительному предшествует положительная правильная дробь, которая округляется сверху до натурального числа 1, тогда существительное произносится в единственном числе (например, two fifth of hour, т. к. ${\displaystyle \lceil 2/5\rceil =1}$ .

Если имени существительному предшествует сумма натурального числа и положительной правильной дроби, которая округляется сверху до натурального числа, отличного от 1, тогда существительное произносится во множественном числе (например, one and two fifth hours, т. к. ${\displaystyle \lceil 1+2/5\rceil =2\neq 1}$ .)

Далее, предикат "No books are on the table." можно записать в виде.

No books are on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\leftrightarrow y\in \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table.) ${\displaystyle \ \land \ |X|=0\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=0}$

Примечание: ${\displaystyle |X|=0\Leftrightarrow X=\varnothing \Leftrightarrow \neg (\exists x(x\in X))\Leftrightarrow \forall x(x\notin X)}$

Примечание: No books are on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Nought books are on the table.

Примечание: Возможно, в будущем англичане будут говорить "Nought book is..." вместо "Nought books are...".

Далее, предикат "No cheese is on the table." можно записать в виде.

No cheese is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ |{Cheese}| ${\displaystyle \ >\aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\leftrightarrow y\in \ }$ {Cheese} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table.) ${\displaystyle \ \land \ |X|=0\Leftrightarrow }$

${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ |{Cheese}| ${\displaystyle \ >\aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in \ }$ {Cheese} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=0}$

Далее, предикат "Cheese is on the table." можно записать в виде.

Cheese is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow X\subset \ }$ {Cheese} ${\displaystyle \ \land \ }$ |{Cheese}| ${\displaystyle \ >\aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\rightarrow y}$ is on the table.) ${\displaystyle \ \land \ |X|=}$ |{Cheese}|

Примечание: ${\displaystyle |X|=}$ |{Cheese}| ${\displaystyle \Rightarrow X\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists x(x\in X)}$

Примечание: Cheese is on the table. ${\displaystyle \Rightarrow }$ |{Cheese}| ${\displaystyle \ >\ \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in }$ {Cheese} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=}$ |{Cheese}|

Сводка

Cheese is on the table. ${\displaystyle \Rightarrow \ }$ |{Cheese}| ${\displaystyle \ >\ \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in }$ {Cheese} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=}$ |{Cheese}|

A book is on the table. ${\displaystyle \Rightarrow \ 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=1}$

Books are on the table. ${\displaystyle \Rightarrow \ 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|\geqslant 2}$

No cheese is on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ |{Cheese}| ${\displaystyle \ >\ \aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in }$ {Cheese} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=0}$

No books are on the table. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ 2\leqslant }$ |{Books}| ${\displaystyle \leqslant \aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in \ }$ {Books} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is on the table. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=0}$

No unicorns are in the stable. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ |{Unicorns}| ${\displaystyle =0\ \land \ X=\{y|y\in \ }$ {Unicorns} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is in the stable. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=0}$

Only one moon is in the sky. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ |{Moons}| ${\displaystyle =1\ \land \ X=\{y|y\in \ }$ {Moons} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is in the sky. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=1}$

Для абстрактных имён существительных по аналогии можно написать следующее:

No courage is in your souls. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ |{Courage}| = undefined ${\displaystyle \ \land \ X=\{y|y\in }$ {Courage} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is in your souls. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=0}$

Courage is in your souls. ${\displaystyle \Leftrightarrow \ }$ |{Courage}| = undefined ${\displaystyle \ \land \ X\subseteq \{y|y\in }$ {Courage} ${\displaystyle \ \land \ y}$ is in your souls. ${\displaystyle \}\ \land \ |X|=}$ undefined.

94.26.145.33 12:31, 24 февраля 2023 (UTC)[]