Принцип разделимости (или принцип отделимости ) — один из принципов доказательств в математике, основанный на том, что некоторые не пересекающиеся множества могут быть некоторым образом разделены в пространстве. Являясь всего лишь принципом (а не аксиомой ), принцип разделимости требует доказательства обоснованности применения в каждом конкретном случае.

Применение принципа разделимости существенно основано на выполнении аксиом отделимости для данного пространства .

Отделимость в евклидовом пространстве

В конечномерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ принцип разделимости работает всегда, в том смысле, что для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существует поверхность, разделяющая пространство на две непересекающиеся части так, что каждое множество целиком принадлежит одной из этих частей.

Отделимость в банаховом пространстве

В функциональных (в частности, банаховых ) пространствах достаточно сложно гарантировать отделимость произвольных множеств. Тем не менее, в частных случаях задача решается достаточно легко. Например:

• Любые два непересекающихся выпуклых множества , одно из которых имеет непустую внутренность, можно разделить гиперплоскостью .
• Любые два непересекающихся замкнутых выпуклых множества, одно из которых компактно, можно сильно разделить гиперплоскостью.

Связанные определения

Множества A и B в банаховом пространстве называются разделимыми , если существует такой функционал p , что для любых ${\displaystyle a\in A}$ , ${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle \langle p,a\rangle \leq \langle p,b\rangle }$

Множества A и B в банаховом пространстве называются сильно разделимыми , если существует такой функционал p , что для любых ${\displaystyle a\in A}$ , ${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle \langle p,a\rangle <k<\langle p,b\rangle ,\,k\in {\mathcal {R}}}$

Применение

Принцип разделимости используется при доказательстве многих сильных геометрических утверждений. В частности, с его помощью обосновываются и теорема Фенхеля — Моро .

См. также

• Функциональная отделимость
• Сепарабельность

Литература

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М. : Физматлит , 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3

Это заготовка статьи по математике . Помогите Википедии, дополнив её.