Interested Article - NP-трудность

Euler diagram for P, NP, NP-complete, and NP-hard set of problems.
Диаграмма Эйлера взаимоотношения между классами сложности P, NP, NP-complete (NP-полными задачами), NP-hard (NP-трудными задачами) в случае, если P≠NP и если P=NP

В теории сложности вычислений NP-трудность (недетерминированная полиномиальная трудность по времени) является определяющим свойством класса задач, которые, неформально, «по крайней мере так же сложны, как самые сложные задачи в NP ». Простым примером NP-трудной задачи является задача о сумме подмножеств .

Формальное определение: задача разрешимости является NP-трудной, если любая задача из NP может быть сведена за полиномиальное время к . Эквивалентно условие требует, чтобы каждая задача в NP могла быть решена за полиномиальное время с оракулом для . Как следствие, алгоритм с полиномиальным временем для решения любой NP-трудной задачи даст алгоритмы с полиномиальным временем для всех задач в NP.

Считается что алгоритмов с полиномиальным временем для NP-трудных задач не существует, но это не доказано (см. проблему P≠NP ) . Более того, класс P , в котором все задачи решаются за полиномиальное время, содержится в классе NP .

Некоторые NP-трудные задачи оптимизации могут быть полиномиально аппроксимированы до некоторого постоянного (константного) коэффициента аппроксимации (в частности, в APX ) или даже до любого коэффициента аппроксимации (в PTAS или FPTAS ).

Наименования классов в NP-трудности

NP-трудные задачи не обязательно должны быть элементами класса сложности NP. Поскольку в теории вычислительной сложности класс NP является ключевым, он используется в качестве основы для следующих классов:

NP
Класс вычислительных задач принятия решений, для которых любое заданное положительное решение может быть проверено как решение за полиномиальное время с помощью детерминированной машины Тьюринга (или решено с помощью недетерминированной машины Тьюринга за полиномиальное время).
NP-hard (NP-трудные)
Класс задач, которые не менее сложны, чем самые сложные задачи в NP. Проблемы, которые являются NP-трудными, не обязательно должны быть элементами NP; на самом деле, такие проблемы могут быть даже неразрешимы.
NP-complete (NP-полные)
Класс задач разрешимости, который содержит самые сложные проблемы в NP. Каждая NP-полная задача должна быть в NP и сводиться к любой другой задаче из NP-полных.
NP-intermediate (NP-промежуточные)
Класс промежуточных задач разрешимости между P и NP-полными, в предположении различности классов P и NP. (Если P=NP, то не существует NP-промежуточных, так как каждая задача из NP (и P) в этом случае сводится к NP-полным, которые в свою очередь в этом случае лежат в NP и, соответственно, в P)

Примеры

Задача о сумме подмножеств : есть ли в заданном наборе целых чисел непустое их подмножество, дающее в сумме ноль? Это задача разрешимости, и она является NP-полной.

Задача коммивояжера — оптимизационная задача поиска циклического маршрута с наименьшей стоимостью через все узлы взвешенного графа. Это NP-трудная задача .

Проблема остановки — задача, являющаяся NP-трудной, но не NP-полной. Задача звучит: «Дана программа и её ввод, остановится ли программа?» Легко доказать, что проблема остановки NP-трудна, но не NP-полна — булева проблема выполнимости может быть сведена к проблеме остановки путем преобразования её в описание машины Тьюринга, которая пробует все возможные входные данные, и когда она находит те, которые удовлетворяют формуле, она останавливается, а в противном случае входит в бесконечный цикл. Также проблема остановки не содержится в NP, так как все проблемы в NP разрешимы за конечное число операций, а проблема остановки неразрешима .

Существуют NP-трудные задачи, которые не являются ни NP-полными, ни неразрешимыми . Например, язык разрешим в полиномиальном пространстве , но не в недетерминированном полиномиальном времени (если верно NP ≠ PSPACE ) .

Области применения

С NP-трудными проблемами сталкиваются чаще всего в таких сферах, как:

Примечания

  1. Handbook of Theoretical Computer Science. — Amsterdam : Elsevier, 1998. — Vol. A, Algorithms and complexity. — ISBN 0262720140 .
  2. Knuth, Donald (1974). "Postscript about NP-hard problems". ACM SIGACT News . 6 (2): 15—16. doi : .
  3. . www.scottaaronson.com . Дата обращения: 25 сентября 2016. 10 июня 2019 года.
  4. . www.scottaaronson.com . Дата обращения: 25 сентября 2016. 16 апреля 2016 года.
  5. ; ; Rinnooy Kan, A. H. G.; Shmoys, D. B. (1985), , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-90413-9 .
  6. Точнее, этот язык ; см. Wegener, Ingo (2005), , Springer, p. 189, ISBN 9783540210450 .
Источник —

Same as NP-трудность