Алгори́тм волново́й трассиро́вки ( волновой алгоритм , алгоритм Ли ) — алгоритм поиска пути , алгоритм поиска кратчайшего пути на планарном графе . Принадлежит к алгоритмам, основанным на методах поиска в ширину .

В основном используется при компьютерной трассировке (разводке) печатных плат , соединительных проводников на поверхности микросхем. Другое применение волнового алгоритма — поиск кратчайшего расстояния на карте в компьютерных стратегических играх.

Волновой алгоритм в контексте поиска пути в лабиринте был предложен Э. Ф. Муром . Ли независимо открыл этот же алгоритм при формализации алгоритмов трассировки печатных плат в 1961 году .

Описание алгоритма

Алгоритм работает на дискретном рабочем поле (ДРП), представляющем собой ограниченную замкнутой линией фигуру, не обязательно прямоугольную, разбитую на прямоугольные ячейки, в частном случае — квадратные. Множество всех ячеек ДРП разбивается на подмножества: «проходимые» (свободные), т. е при поиске пути их можно проходить, «непроходимые» (препятствия), путь через эту ячейку запрещён, стартовая ячейка (источник) и финишная (приемник). Назначение стартовой и финишной ячеек условно, достаточно — указание пары ячеек, между которыми нужно найти кратчайший путь.

Алгоритм предназначен для поиска кратчайшего пути от стартовой ячейки к конечной ячейке, если это возможно, либо, при отсутствии пути, выдать сообщение о непроходимости .

Работа алгоритма включает в себя три этапа: инициализацию , распространение волны и восстановление пути .

Во время инициализации строится образ множества ячеек обрабатываемого поля, каждой ячейке приписываются атрибуты проходимости/непроходимости, запоминаются стартовая и финишная ячейки.

Далее, от стартовой ячейки порождается шаг в соседнюю ячейку, при этом проверяется, проходима ли она, и не принадлежит ли ранее меченной в пути ячейке.

Соседние ячейки принято классифицировать двояко: в смысле окрестности Мура и окрестности фон Неймана , отличающийся тем, что в окрестности фон Неймана соседними ячейками считаются только 4 ячейки по вертикали и горизонтали, в окрестности Мура — все 8 ячеек, включая диагональные.

При выполнении условий проходимости и непринадлежности её к ранее помеченным в пути ячейкам, в атрибут ячейки записывается число, равное количеству шагов от стартовой ячейки, на первом шаге это будет 1. Каждая ячейка, меченная числом шагов от стартовой ячейки, становится стартовой и из неё порождаются очередные шаги в соседние ячейки. Очевидно, что при таком переборе будет найден путь от начальной ячейки к конечной, либо очередной шаг из любой порождённой в пути ячейки будет невозможен.

Восстановление кратчайшего пути происходит в обратном направлении: при выборе ячейки от финишной ячейки к стартовой на каждом шаге выбирается ячейка, имеющая атрибут расстояния от стартовой на единицу меньше текущей ячейки. Очевидно, что таким образом находится кратчайший путь между парой заданных ячеек . Трасс с минимальной числовой длиной пути, как при поиске пути в окрестностях Мура, так и фон Неймана может существовать несколько. Выбор окончательного пути в приложениях диктуется другими соображениями, находящимися вне этого алгоритма. Например, при трассировке печатных плат — минимумом линейной длины проложенного проводника.

Псевдокод

Инициализация

Пометить стартовую ячейку 
d := 0 

Распространение волны

ЦИКЛ
  ДЛЯ каждой ячейки loc, помеченной числом d
    пометить все соседние свободные непомеченные ячейки числом d + 1
  КЦ
  d := d + 1
ПОКА (финишная ячейка не помечена) И (есть возможность распространения волны) 

Восстановление пути

ЕСЛИ финишная ячейка помечена
ТО
  перейти в финишную ячейку
  ЦИКЛ
    выбрать среди соседних ячейку, помеченную числом на 1 меньше числа в текущей ячейке
    перейти в выбранную ячейку и добавить её к пути
  ПОКА текущая ячейка — не стартовая
  ВОЗВРАТ путь найден
ИНАЧЕ
  ВОЗВРАТ путь не найден

См. также

• Динамическое программирование
• Трассировка печатных плат
• Лабиринт

Примечания

Литература

• Максим Мозговой. . — СПб. : Питер, 2004. — 208 с. — ISBN 5-94723-853-5 .
• Steven M. Rubin. . — 1994.
• Wai Kai Chen. . — 2nd ed. — 2003. — С. 1372—1374. — 2961 с. — ISBN 0-8493-0912-3 .
• Frank Rubin. // IEEE Transactions on Computers. — 1974. (недоступная ссылка)
• T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein. . — 3rd edition. — The MIT Press, 2009. — ISBN 978-0-262-03384-8 .

Ссылки

• ( 4 соседа )
• ( 8 соседей )
• (слайды)