Гипотеза H ( гипотеза Шинцеля ) — обобщение гипотезы Диксона , заключающееся в том, что набор многочленов для бесконечного множества целых значений аргументов принимает простые значения при выполнении некоторого дополнительного условия. Предложена в 1958 году Анджеем Шинцелем .

Формулировка

Пусть полиномы с целочисленными коэффициентами f ₁ ( n ), … f _k ( n ), где n также целое, являются неприводимыми, и их старшие коэффициенты положительны. Если они таковы, что для каждого простого числа p можно найти некоторое целое число n такое, что эти полиномы не будут делиться на p , то тогда существует бесконечно много положительных n , при которых значение каждого из этих полиномов будет простым числом.

Частные случаи

Известными примерами являются полином

${\displaystyle n^{2}+1}$

и так называемые простые числа-близнецы , для которых, однако, справедливость гипотезы не доказана.

Один из частных случаев гипотезы был доказан Дирихле . Так, для двух целых чисел, не имеющих общих делителей, арифметическая прогрессия вида

${\displaystyle a,a+d,a+2d,\ldots ,a+nd,\ldots ,\quad d>0}$

содержит бесконечное количество простых чисел.

См. также

• Гипотеза Буняковского

Литература

• Crandall, Richard, Pomerance, Carl B. Prime Numbers: A Computational Perspective. — 2nd ed.. — Springer, 2005. — P. 13, 17—18. — 597 p. — ISBN 978-0-387-28979-3 .
• Alladi, K. , Elliott, P. D. T. A., Granville, A., Tenenbaum, G. Analytic and Elementary Number Theory. — Springer, 1998. — Vol. 1. — P. 71. — 304 p. — (Developments in Mathematics). — ISBN 978-0-7923-8273-7 .

Ссылки

• Chris K. Caldwell. (англ.) . The Prime Glossary . The University of Tennessee at Martin. Дата обращения: 15 ноября 2012. 8 января 2013 года.