Нерешённые проблемы математики :
Как много неперекрывающихся треугольников могут быть образованы конфигурацией k прямых?

Зада́ча Кобо́на о треуго́льниках — нерешённая задача комбинаторной геометрии , сформулированная Кодзабуро Фудзмурой ( яп. 藤村幸三郎 фудзимура ко:дзабуро: ) , известным также как Кобон. В задаче спрашивается, каково максимальное число N ( k ) неперекрывающихся треугольников, стороны которых принадлежат конфигурации k прямых . Вариант задачи рассматривается в проективной плоскости , а не в евклидовой плоскости, и в этом случае требуется, чтобы треугольники не пересекались другими прямыми конфигурации .

Верхние границы

Сабуро Тамура доказал, что наибольшее целое, не превосходящее k ( k − 2)/3, даёт верхнюю границу максимального числа неперекрывающихся треугольников, получаемых из k прямых . В 2007 году Иоганес Бадер и Жиль Клеман ( нем. Johannes Bader , фр. Gilles Clément ) нашли более сильную границу, доказав, что верхняя граница Тамуры не может быть достигнута для любого k , сравнимого с 0 или 2 по модулю 6 . Поэтому максимальное число треугольников на единицу меньше границы Тамура для этих случаев. Совершенные решения (решение задачи Кобона, дающие максимальное число треугольников) известны для k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 и 17 . Для k = 10, 11 и 12 наилучшие известные решения на единицу меньше верхней границы.

Если дано совершенное решение с k ₀ прямыми, другие решения задачи Кобона о треугольниках могут быть найдены для всех значений k _i , где

${\displaystyle k_{n+1}=2k_{n}-1,}$

при помощи процедуры Д. Форжа и Дж. Л. Рамиреза Альфонсина . Например, решение для k ₀ = 3 приводит к максимальному числу неперекрывающихся треугольников для k = 3, 5, 9, 17, 33, 65, …

Примеры

• 
  3 прямых образуют треугольник
• 
  4 прямых
• 
  5 прямых
• 
  6 прямых
• 
  7 прямых

См. также

• Теорема Робертса о треугольниках

Примечания

Литература

• Forge D., Ramírez Alfonsín J. L. . Straight line arrangements in the real projective plane // Discrete and Computational Geometry , 1998, 20 (2). — P. 155—161. — doi : .

Ссылки

• Johannes Bader,