В проективной геометрии конфигурация на плоскости состоит из конечного множества точек и конечной конфигурации прямых , таких, что каждая точка инцидентна одному и тому же числу прямых и каждая прямая инцидентна одному и тому же числу точек .

Хотя некоторые специфические конфигурации изучались ранее (например, в 1849 году), формальное изучение конфигураций начал впервые в 1876 году во втором издании его книги Geometrie der Lage ( Геометрия положения ), в контексте обсуждения теоремы Дезарга . Эрнст Штайниц написал свою диссертацию на эту тему в 1894 году и конфигурации были полуляризированы в 1932 году Гильбертом и Кон-Фоссеном в книге Anschauliche Geometrie ( Наглядная геометрия ), которая была переведена на английский и русский языки.

Конфигурации можно изучать либо как конкретные множества точек и прямых в конкретной геометрии, например, на евклидовой или проективной плоскости (в этом случае говорят о реализации в этой геометрии), либо как абстрактную геометрию инцидентности . В последнем случае конфигурации тесно связаны с регулярными гиперграфами и двудольными графами , но с дополнительным ограничением — любые две точки структуры инцидентности могут быть ассоциированы максимум с одной прямой, а любые две прямые могут быть ассоциированы максимум с одной точкой. То есть обхват соответствующего двудольного графа ( графа Леви конфигурации) должен быть равен по меньшей мере шести.

Обозначения

Конфигурация на плоскости обозначается как ( p _γ ℓ _π ), где p — число точек, ℓ — число прямых, γ — число прямых, проходящих через каждую точку, а π — число точек на каждой прямой. Для этих чисел должно выполняться соотношение

${\displaystyle p\gamma =\ell \pi }$ ,

поскольку это произведение равно числу инциденций точка-прямая ( флагов ).

Конфигурации с тем же символом не обязаны быть изоморфными в качестве структур инцидентности . Например, существует три различных конфигурации (9 ₃ 9 ₃ ) — конфигурация Паппа и две менее известные конфигурации.

В некоторых конфигурациях p = ℓ а потому, γ = π. Они называются симметричными или сбалансированными конфигурациями и обычно в обозначениях повторение опускается. Например, (9 ₃ 9 ₃ ) сокращается до (9 ₃ ).

Примеры

Наиболее известны следующие проективные конфигурации:

• (1 ₁ ), простейшая возможная конфигурация, состоящая из точки на прямой. Ввиду тривиальности зачастую не рассматривается.
• (3 ₂ ), треугольник . Каждая из трёх сторон содержит две из трёх вершин, и наоборот. Обобщённо, любой многоугольник с n сторонами образует конфигурацию типа ( n ₂ )
• (4 ₃ 6 ₂ ) и (6 ₂ 4 ₃ ), полный четырёхугольник и полный четырёхсторонник соответственно.
• (7 ₃ ), Плоскость Фано . Эта конфигурация существует как абстрактная геометрия инцидентности , но она не может быть построена на евклидовой плоскости .
• (8 ₃ ), конфигурация Мёбиуса — Кантора . Эта конфигурация состоит из двух четырёхугольников, одновременно описанных и вписанных относительно друг друга. Конфигурацию нельзя построить на евклидовой плоскости, но уравнения, её определяющие, имеют нетривиальные решения в комплексных числах .
• (9 ₃ ), конфигурация Паппа .
• (9 ₄ 12 ₃ ), Конфигурация Гессе девяти точек перегиба кубики на комплексной проективной плоскости и двенадцати прямых, каждая из которых содержит по три точки. Эта конфигурация имеет то же свойство, что и плоскость Фано, а именно, что она содержит все прямые, проходящие через любые две точки конфигурации. Конфигурации с такими свойствами известны как конфигурации Сильвестра–Галлаи . Для этих конфигураций по теореме Сильвестра они не могут быть реализованы в вещественной плоскости .
• (10 ₃ ), конфигурация Дезарга .
• (12 ₅ 30 ₂ ), двойная шестёрка Шлефли , образованная 12 прямыми из 27 прямых на кубической поверхности
• (15 ₃ ), конфигурация Кремоны — Ричмонда , образованная 15 прямыми, не входящими в двойную шестёрку, и соответствующими 15 касательными плоскостями
• (12 ₄ 16 ₃ ), конфигурация Рейе .
• (16 ₆ ), .
• (27 ₃ ), конфигурация Грея
• (60 ₁₅ ), конфигурация Клейна .

Двойственность конфигураций

Проективно двойственной конфигурацией для ( p _γ l _π ) является конфигурация ( l _π p _γ ), в которой роли «точек» и «прямых» меняются местами. Поэтому конфигурации идут двойственными парами, за исключением случаев, когда двойственная конфигурация изоморфна исходной. Эти исключения называются самодвойственными конфигурациями и в этих случаях p = l .

Число конфигураций ( n ₃ )

Число неизоморфных конфигураций типа ( n ₃ ), начиная с n = 7, является элементом последовательности

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , , 2036, 21399, 245342, ... последовательность в OEIS

Эти числа подсчитаны как абстрактные структуры инцидентности, независимо от возможности их реализации . Как пишет Гропп , девять из десяти конфигураций (10 ₃ ) и все конфигурации (11 ₃ ) и (12 ₃ ) допускают реализацию в евклидовом пространстве, но для всех n ≥ 16 имеется по меньшей мере одна нереализуемая конфигурация ( n ₃ ) . Гропп также указывает давнюю ошибку в этой последовательности — в статье 1895 года была попытка перечислить все конфигурации (12 ₃ ) и 228 из них были найдены, но 229-я конфигурация не была открыта вплоть до 1988 года.

Построение симметричных конфигураций

Имеется несколько методов построения конфигураций, обычно начинающих с уже известных конфигураций. Некоторые простейшие из этих методов строят симметричные ( p _γ ) конфигурации.

Любая конечная проективная плоскость порядка n является конфигурацией (( n ² + n + 1) _{n + 1} ). Пусть Π — проективная плоскость порядка n . Удалим из Π точку P и все прямые Π, проходящие через P (но не точки, лежащие на этих прямых, за исключением точки P ) и удалим прямую l , не проходящую через P , и все точки, лежащие на этой прямой. В результате получим конфигурацию типа (( n ² - 1) _n ). Если при построении выберем прямую l , проходящую через P , получим конфигурацию типа (( n ² ) _n ). Поскольку известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков n , являющихся степенями простых чисел, эти построения обеспечивают бесконечное семейство симметричных конфигураций.

Не все конфигурации реализуемы, например, конфигурация (43 ₇ ) не существует . Однако Групп дал построение, которое показывает, что для k ≥ 3 конфигурация ( p _k ) существует для всех p ≥ 2 l _k + 1, где l _k является длиной оптимальной линейки Голомба порядка k .

Высокие размерности

Концепция конфигурации может быть обобщена на более высокие размерности, например для точек и прямых или плоскостей в пространстве . В этом случае ограничение, что никакие две точки не могут лежать более чем на одной прямой, можно ослабить, поскольку две точки могут принадлежать более чем одной плоскости.

В трёхмерном пространстве интересными являются

• Конфигурация Мёбиуса , состоящая из двух взаимно вписанных тетраэдров
• Конфигурация Рейе , состоящая из двенадцати точек и двенадцати плоскостей с шестью точками на каждой плоскости и шестью плоскостями, проходящими через каждую точку
• Конфигурация Грея , состоящая из 27 точек решётки 3×3×3 и 27 ортогональных прямых, проходящих через них
• Двойная шестёрка Шлефли , состоящая из 30 точек и 12 прямых, по две прямые на точку и по пять точек на одной прямой.

Дальнейшее обобщение получается в трёхмерном пространстве при рассмотрении инцидентности точек, прямых и плоскостей, то есть j -пространств при 0 ≤ j < 3, где каждое j -пространство инцидентно N _jk k -пространствам ( j ≠ k ). Если обозначить через N _jj число j -пространств, такую конфигурацию можно представить в виде матрицы :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}N_{00}&N_{01}&N_{02}\\N_{10}&N_{11}&N_{12}\\N_{20}&N_{21}&N_{22}\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}$

Подход можно обобщать для других размерностей n , где 0 ≤ j < n . Такие конфигурации математически связаны с правильными многогранниками .

См. также

• Комплексные многогранники (которые лучше бы называть комплексными конфигурациями )

Примечания

Литература

• Leah W. Berman. Movable ( n ₄ ) configurations // The Electronic Journal of Combinatorics. — Т. 13 , вып. 1 . — С. R104 . .
• A. Betten, G. Brinkmann, T. Pisanski. Counting symmetric configurations // Discrete Applied Mathematics. — 2000. — Т. 99 , вып. 1–3 . — С. 331–338 . — doi : . .
• H.S.M. Coxeter . . — Methuen and Co, 1948. .
• H.S.M. Coxeter . Self-dual configurations and regular graphs // . — Dover. — 1999. — ISBN 0-486-40919-8 .
• Peter Dembowski. Finite geometries. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 1968. — Т. Band 44. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). — ISBN 3-540-61786-8 .
• Harald Gropp. On the existence and non-existence of configurations n _k // Journal of Combinatorics and Information System Science. — 1990. — Т. 15 . — С. 34–48 .
• Harald Gropp. Configurations and their realization // Discrete Mathematics . — 1997. — Т. 174 , вып. 1–3 . — С. 137–151 . — doi : . .
• Branko Grünbaum. The Coxeter Legacy: Reflections and Projections / Chandler Davis, Erich W. Ellers. — American Mathematical Society, 2006. — С. 179–225. .
• Branko Grünbaum. Configurations of Points and Lines. — American Mathematical Society, 2009. — Т. 103. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-4308-6 . .
• David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. . — 2nd. — Chelsea, 1952. — ISBN 0-8284-1087-9 . .
• L. M. Kelly. // Discrete and Computational Geometry. — 1986. — Т. 1 , вып. 1 . — С. 101–104 . — doi : . .
• Tomaž Pisanski, Brigitte Servatius. Configurations from a Graphical Viewpoint. — Springer, 2013. — ISBN 9780817683641 . .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .