Теорема Вигнера — Эккарта — теорема из теории представлений и квантовой механики . В ней говорится, что матричный элемент в базисе собственных функций оператора углового момента может быть представлен в виде произведения двух величин, одна из которых не зависит от проекций углового момента, а другая является коэффициентом Клебша — Гордана . Название теоремы образовано от имён Юджина Вигнера и Карла Эккарта , которые разработали конструкцию, связывающий симметрию преобразования групп пространства с законами сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Теорема Вигнера — Эккарта формулируется так:

${\displaystyle \langle jm|T_{q}^{k}|j'm'\rangle =\langle j||T^{k}||j'\rangle C_{kqj'm'}^{jm},}$

где ${\displaystyle T_{q}^{k}}$ — ранга ${\displaystyle k}$ , ${\displaystyle |jm\rangle }$ и ${\displaystyle |j'm'\rangle }$ суть собственные функции полного углового момента ${\displaystyle J^{2}}$ и его z -компоненты ${\displaystyle J_{z}}$ , ${\displaystyle \langle j||T^{k}||j'\rangle }$ не зависит от ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle q}$ , и ${\displaystyle C_{kqj'm'}^{jm}=\langle j'm';kq|jm\rangle }$ — коэффициенты Клебша — Гордана сложения ${\displaystyle j'}$ и ${\displaystyle k}$ для получения ${\displaystyle j}$ .

Как следствие, Теорема Вигнера — Эккарта говорит нам, что действие сферического тензорного оператора ранга ${\displaystyle k}$ на собственную функцию углового момента есть то же самое, что добавление состояния с угловым моментом ${\displaystyle k}$ к исходному состоянию. Матричные элементы, находимые для сферического тензорного оператора, пропорциональны коэффициентам Клебша — Гордана, которые возникают при сложении двух угловых моментов.

Пример

Рассмотрим среднее значение координаты ${\displaystyle \langle njm|x|njm\rangle }$ . Этот матричный элемент является средним значением оператора координаты в сферически-симметричном базисе собственных состояний атома водорода. Отыскание этих матричных элементов является нетривиальной задачей. Однако, использование теоремы Вигнера — Эккарта упрощает эту задачу. (В действительности возможно получить решение сразу же, используя чётность .)

Известно, что ${\displaystyle x}$ — одна из компонент вектора ${\displaystyle {\vec {r}}}$ . Векторы являются тензорами первого ранга, таким образом ${\displaystyle x}$ является некоторой линейной комбинацией ${\displaystyle T_{q}^{1}}$ , где ${\displaystyle q=-1,0,1}$ . Можно показать, что ${\displaystyle x={\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{\sqrt {2}}}}$ , где определены таким образом: ${\displaystyle T_{0}^{1}=z}$ и ${\displaystyle T_{\pm 1}^{1}=\mp (x\pm iy)/{\sqrt {2}}}$ (знаки должны быть выбраны согласно определению сферического тензора ранга ${\displaystyle k}$ . Следовательно, ${\displaystyle T_{q}^{1}}$ пропорциональны только лестничным операторам ). Поэтому

${\displaystyle \langle njm|x|n'j'm'\rangle =\left\langle njm\left|{\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{\sqrt {2}}}\right|n'j'm'\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle nj||T^{1}||n'j'\rangle (C_{1(-1)j'm'}^{jm}-C_{11j'm'}^{jm}).}$

Выражения выше дают нам матричные элементы для ${\displaystyle x}$ в базисе ${\displaystyle |njm\rangle }$ . Чтобы найти среднее значение, положим ${\displaystyle n'=n}$ , ${\displaystyle j'=j}$ , и ${\displaystyle m'=m}$ . Правила отбора для ${\displaystyle m'}$ и ${\displaystyle m}$ таковы: ${\displaystyle m\pm 1=m'}$ для сферических тензоров ${\displaystyle T_{\mp 1}^{(1)}}$ . Как только ${\displaystyle m'=m}$ , коэффициенты Клебша — Гордана обращаются в нуль, что ведет к равенству нулю средних значений.

Примечания

Ссылки

• J. J. Sakurai, (1994). «Modern Quantum Mechanics», Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2 .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (англ.)
• (англ.)