Interested Article - Теорема Вика — Блоха — Доминисиса

Теорема Вика — Блоха — Доминисиса — утверждение о том, что среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения частиц в квантовой статистической механике равно сумме всех возможных полных систем спариваний для этого произведения. Была сформулирована и доказана Блохом и Доминисисом в 1958 году .

Формулировка

Среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения с гамильтонианом $(1)$ равно сумме всех возможных полных систем спариваний этого произведения .

Пояснения

Пусть имеется система из $N$ тождественных частиц и пусть её гамильтониан имеет вид:

H=\sum E_{f}n_{f},n_{f}=a_{f}^{+}a_{f},E_{f}=E_{f}^{'}-\lambda (1)

.

где $E_{f}^{'}$ - энергия частицы в $f$ - м состоянии, $\lambda$ - химический потенциал. Спариванием двух операторов $A_{1},A_{2}$ рождения или уничтожения частиц называется среднее значение произведения этих операторов ${\overline {A_{1}A_{2}}}=\langle A_{1}A_{2}\rangle$ . Системой спариваний называется попарная расстановка операторов с соответствующим спариванием. Полной системой спариваний называется система спариваний, после применения которой не остаётся ни одного неспаренного оператора. При этом каждому члену в случае статистики Ферми приписывается знак $(-1)^{P}$ , где $P$ - перестановка, переводящая исходное произведение операторов в данное.

Примеры

В случае статистики Ферми среднее значение произведения четырёх операторов рождения и уничтожения частиц равно: $\langle A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}\rangle =\langle A_{1}A_{2}\rangle \langle A_{3}A_{4}\rangle -\langle A_{1}A_{3}\rangle \langle A_{2}A_{4}\rangle +\langle A_{1}A_{4}\rangle \langle A_{2}A_{3}\rangle$ .

В случае статистики Бозе среднее значение произведения четырёх операторов рождения и уничтожения частиц равно: $\langle A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}\rangle =\langle A_{1}A_{2}\rangle \langle A_{3}A_{4}\rangle +\langle A_{1}A_{3}\rangle \langle A_{2}A_{4}\rangle +\langle A_{1}A_{4}\rangle \langle A_{2}A_{3}\rangle$ .