CUSUM-тест (сокр. от англ. CUmulative SUM — «кумулятивная сумма») — применяемый в эконометрике статистический тест для проверки стабильности параметров модели на всей выборке. Тест основан на так называемых рекурсивных остатках .

Тест предложен Брауном, Дарбином и Эвансом в 1975 году.

Рекурсивные остатки

Данный тест использует так называемые рекурсивные остатки, которые получаются при использовании рекурсивного метода наименьших квадратов . Уже изучение самих рекурсивных остатков позволяет делать выводы о стабильности параметров модели, так как математическое ожидание их при стабильности модели равно нулю, а стандартное отклонение — стандартной ошибке модели.

Сущность и процедура теста

Статистика теста определяется следующим образом:

${\displaystyle CUSUM_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}}/{s}~,~~t=k+1,...,n}$

где ${\displaystyle k}$ — количество параметров модели, ${\displaystyle s}$ — стандартная ошибка модели.

Если параметры модели стабильны, то математическое ожидание этой величины равно нулю для всех ${\displaystyle t}$ . Соответственно, можно построить доверительные границы в виде ограничивающих линий на графике. Для 5%-го уровня значимости доверительные границы получаются путём соединения двух точек:

${\displaystyle k\pm 0.948{\sqrt {n-k}}~,~n\pm 3\cdot 0.948{\sqrt {n-k}}}$

Если график статистики выходит за пределы линий, то параметры модели, вероятно, являются нестабильными — необходимо либо изменить модель, либо разделить выборку на однородные подвыборки.

Квадратический CUSUM (CUSUM-SQ)

Кроме теста кумулятивных рекурсивных остатков, используется также тест, основанный на кумулятивной сумме квадратов рекурсивных остатков, статистика которого имеет вид:

${\displaystyle CUSUMSQ_{t}={\sum _{r=k+1}^{t}w_{r}^{2}}~/{\sum _{r=k+1}^{n}w_{r}^{2}}}$

Математическое ожидание этой статистики равно ${\displaystyle {\frac {t-k}{n-k}}}$ . Доверительные границы строятся на основе специальных таблиц критических значений.

См. также

• Тест Чоу
• Рекурсивный МНК
• RESET-тест Рамсея

Литература

• Michèle Basseville and Igor V. Nikiforov. (англ.) . — Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall , 1993. — ISBN 0-13-126780-9 .
• Mishra, S., Vanli, O. A., & Park, C (2015). от 12 апреля 2018 на Wayback Machine , International Journal of Prognostics and Health Management , ISSN