Interested Article - Уравнение четвёртой степени
- 2021-10-07
- 2
Уравне́ние четвёртой сте́пени — в математике алгебраическое уравнение вида:
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей , при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).
Так как функция является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.
Теорема Виета для уравнения четвёртой степени
Корни уравнения четвёртой степени связаны с коэффициентами следующим образом:
История
Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.
Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано, а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге « Великое искусство » .
То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа , позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема .
Решения
Решение через резольвенту
Решение уравнения четвёртой степени
сводится к решению кубической резольвенты
Корни резольвенты связаны с корнями исходного уравнения (которые и нужно найти) следующими соотношениями:
Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано .
Три формулы соотношений между и вместе с уравнением ( соотношение Виета для коэффициента при )
дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.
Решение Декарта — Эйлера
В уравнении четвёртой степени
сделаем подстановку , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):
где
Корни такого уравнения равны одному из следующих выражений:
в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:
причём — это корни кубического уравнения
Решение Феррари
Решение уравнения четвёртой степени вида может быть найдено по методу Феррари. Если — произвольный корень кубического уравнения
( резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом .
Биквадратное уравнение
Биквадратное уравнение — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида , где — заданные комплексные числа и . Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой оно сводится к квадратному уравнению относительно .
Четыре его корня находятся по формуле
Возвратные уравнения четвёртой степени
Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для такого, что , решение находится приведением к виду:
- ,
После замены ищется решение квадратного уравнения , а затем — квадратного уравнения .
Примечания
- . Дата обращения: 26 сентября 2009. 29 октября 2009 года.
- от 26 июня 2008 на Wayback Machine , 1545 )
- Стюарт, Ян . Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
- В литературе до середины XX века биквадратным также могли называть уравнение четвёртой степени общего вида
Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М. : Наука , 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9 .
- Лекция 4 в кн.: Табачников С. Л., Фукс Д. Б. . — М. : МЦНМО , 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7 .
Ссылки
- (англ.) . Дата обращения: 27 сентября 2009. 19 февраля 2012 года.
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- (англ.) на сайте PlanetMath .
- 2021-10-07
- 2