Теорема Кнастера — Тарского ( теорема Тарского ) — теорема в теории решёток , впервые сформулированная в частном случае Брониславом Кнастером и обобщенная Альфредом Тарским . Утверждает, что для любого монотонного отображения ${\displaystyle f:L\to L}$ ${\displaystyle \langle L,\sqsubseteq \rangle }$ (то есть такого, что ${\displaystyle l_{1}\sqsubseteq l_{2}\Rightarrow f(l_{1})\sqsubseteq f(l_{2})}$ ) множество всех неподвижных точек ${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)=\{l\in L\mid f(l)=l\}}$ также является полной решёткой.

Результат используется в теоретической информатике , в частности, в работах по семантике языков программирования .

Из теоремы Кнастера — Тарского следует, что монотонное отображение полной решётки на себя имеет хотя бы одну неподвижную точку (так как полная решётка не может быть пустой). Более того, такое отображение имеет наименьшую и наибольшую неподвижные точки . Теорема Клини о неподвижной точке утверждает, что для непрерывных по Скотту отображений (которые, как следствие непрерывности, являются монотонными) существует . Кроме того, теорема Клини выполнена также для любых полных частичных порядков .

Примечания

Литература

• S. Abramsky, Dov M. Gabbay, T. S. E. Maibaum, Handbook of Logic in Computer Science: Volume 1: Background: Mathematical Structures