Нуль функции в математике — элемент из области определения функции , в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции ${\displaystyle f}$ , заданной формулой

${\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9\,.}$

${\displaystyle x=3}$ является нулём, поскольку

${\displaystyle f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0}$ .

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры .

Для функции действительного переменного ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс .

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона , градиентные методы ).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана .

Корень многочлена

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней , с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета .

Комплексный анализ

Простой нуль голоморфной в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ функции ${\displaystyle f}$ — точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$ , в некоторой окрестности которой справедливо представление ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})g(z)}$ , где ${\displaystyle g}$ голоморфна в ${\displaystyle z_{0}}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка ${\displaystyle k}$ голоморфной в некоторой области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ функции ${\displaystyle f}$ — точка ${\displaystyle z_{0}\in G}$ , в некоторой окрестности которой справедливо представление ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)}$ , где ${\displaystyle g}$ голоморфна в ${\displaystyle z_{0}}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нули голоморфной функции изолированы .

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

• теорема Руше ,
• теорема Мардена ,
• Теорема Гаусса — Люка

Литература

• Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .