Interested Article - Симметрическая разность
- 2021-04-22
- 1
Симметри́ческая ра́зность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества и , их симметрическая разность есть объединение элементов , не входящих в , с элементами , не входящими в . На письме для обозначения симметрической разности множеств и используется обозначение , реже используется обозначение или .
Определение
Симметрическую разность можно ввести двумя способами:
- симметрическая разность двух заданных множеств и — это такое множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
- симметрическая разность двух заданных множеств и — это такое множество , куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.
Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.
Свойства
- Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане ;
- Симметрическая разность коммутативна :
- Симметрическая разность ассоциативна :
- Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:
- Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:
- Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:
- В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой ;
- Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем
- В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей .
- Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств , то множества образуют кольцо с единицей . Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:
- Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств
Пример
Пусть
Тогда
См. также
Примечания
- Мельников О. В., Ремеслеников В. Н. , Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 13
Литература
- К. Куратовский , А. Мостовский . Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М. : Мир, 1970. — С. 23—26.
- 2021-04-22
- 1