Теоре́ма Помпею́ — теорема планиметрии , открытая румынским математиком Димитрие Помпею и опубликованная им в 1936 году . Теорема известна в двух формулировках: частной и более общей.

Формулировки

Частная формулировка

Пусть дан равносторонний треугольник , вписанный в окружность . Тогда для любой точки этой окружности расстояние от неё до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух остальных вершин. В частности, для рис. справа имеем: ${\displaystyle AM+CM=BM}$ . В симметричном виде эта формулировка может быть записана в виде: ${\displaystyle MA+MB+MC=2\max(MA,MB,MC)}$ или ${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z)}$ .

Примеры аналогичных соотношений

Аналогичные соотношения встречаются в следующих разделах:

• Теорема Мавло
• Точки Фейербаха

Общая формулировка

Пусть дан равносторонний треугольник ${\displaystyle ABC}$ , вписанный в окружность. Тогда для любой точки ${\displaystyle M}$ справедливы неравенства:

${\displaystyle MA\leqslant MB+MC,}$

${\displaystyle MB\leqslant MA+MC,}$

${\displaystyle MC\leqslant MA+MB.}$

При этом указанные неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда точка ${\displaystyle M}$ лежит на дугах ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ описанной окружности соответственно.

Другими словами, из отрезков ${\displaystyle MA}$ , ${\displaystyle MB}$ , ${\displaystyle MC}$ можно составить треугольник , но если точка ${\displaystyle M}$ на описанной окружности, он будет вырожденным.

Доказательства

Рассмотрим поворот вокруг точки ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle 60^{\circ }}$ . При этом повороте точка ${\displaystyle B}$ перейдёт в ${\displaystyle C}$ , а ${\displaystyle M}$ — в ${\displaystyle M'}$ .

Заметим, что треугольник ${\displaystyle AMM'}$ равносторонний, поэтому ${\displaystyle AM=MM'}$ . Так как поворот является изометрией , то ${\displaystyle MB=M'C}$ .

Таким образом, длины отрезков ${\displaystyle MA}$ , ${\displaystyle MB}$ , ${\displaystyle MC}$ равны попарным расстояниям между точками ${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle M'}$ , ${\displaystyle C}$ , то есть все три неравенства будут следовать из обобщённого неравенства треугольника . Одно из неравенств станет равенством в том и только том случае, если точки ${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle M'}$ и ${\displaystyle C}$ будут лежать на одной прямой.

Заметим, что в силу свойств поворота ${\displaystyle \angle AM'C=\angle AMB}$ . Теперь в случае, когда ${\displaystyle C}$ лежит между ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ имеем ${\displaystyle \angle AM'C=\angle AMB=60^{\circ }}$ и ${\displaystyle \angle AMC=60^{\circ }}$ , то есть ${\displaystyle M}$ лежит на дуге ${\displaystyle BC}$ . Аналогично, в двух других случаях один из указанных углов будет ${\displaystyle 60^{\circ }}$ , а другой ${\displaystyle 120^{\circ }}$ , и мы получим две другие дуги.

Другие доказательства

• Также теорема Помпею напрямую следует из неравенства Птолемея , применённого к ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle M}$ , то есть для вписанного в окружность четырехугольника ${\displaystyle ABCM}$ .
• Теорема может быть доказана с помощью инверсии или комплексных чисел — доказательство самого Помпею также использовало комплексные числа .

Вариации и обобщения

Площадь треугольника Помпею

Как гласит теорема, для всякой точки ${\displaystyle M}$ из отрезков ${\displaystyle MA}$ , ${\displaystyle MB}$ , ${\displaystyle MC}$ можно построить треугольник (треугольник Помпею, соответствующий точке ${\displaystyle M}$ ). Если ${\displaystyle M}$ лежит внутри треугольника ${\displaystyle ABC}$ площади ${\displaystyle S_{0}}$ , а площади треугольников ${\displaystyle AMB}$ , ${\displaystyle BMC}$ и ${\displaystyle AMC}$ равны ${\displaystyle S_{1}}$ , ${\displaystyle S_{2}}$ , ${\displaystyle S_{3}}$ , то площадь треугольника Помпею равна ${\displaystyle {\frac {S_{1}S_{2}+S_{2}S_{3}+S_{3}S_{1}}{S_{0}}}}$ .

Обобщённая теорема Помпею

Пусть окружность касается описанной окружности равностороннего треугольника ${\displaystyle ABC}$ в произвольной точке ${\displaystyle M}$ . Проведём касательные ${\displaystyle AA_{1}}$ , ${\displaystyle BB_{1}}$ , ${\displaystyle CC_{1}}$ к этой окружности из вершин треугольника. Тогда ${\displaystyle AA_{1}+CC_{1}=BB_{1}}$ .

Доказательство основано на применении теоремы Помпею и теоремы о касательной и секущей . Ясно, что если сделать радиус окружности нулевым, мы получим классическую теорему Помпею. Данное обобщение теоремы Помпею есть простое следствие теоремы Кейси ( обобщённой теоремы Птолемея ), когда радиусы трех из четырех касающихся окружностей вписанного четырехугольника вырождаются в точки, а четвертая окружность фигурирует в данном обобщении теоремы Помпею . При этом вписанный четырехугольник вырождается в равносторонний треугольник с одной лишней вершиной. Можно взять и другой случай вписанного четырехугольника, когда у него равны две стороны и диагональ, образующие равносторонний треугольник ABC и три его вершины, четвертая вершина M лежит на окружности (см. последний рис.).

Примечания

Источники

• В. Ю. Протасов. . — М. : МЦНМО , 2005.
• Я. П. Понарин. . — М. : МЦНМО , 2004.