Задача Брокара — математическая задача нахождения целых чисел m , для которых

${\displaystyle n!+1=m^{2},}$

где n! — факториал . Задача была поставлена Анри Брокаром в статьях 1876 и 1885 года и, независимо, в 1913 году Рамануджаном .

Нерешённые проблемы математики : Существуют ли отличные от 4, 5, 7 решения задачи Брокара?

Числа Брауна

Пары чисел ( n , m ), решающие задачу Брокара, носят название числа Брауна . Известны только три пары таких чисел:

(4, 5), (5, 11) и (7, 71) .

Пал Эрдёш высказал предположение, что других решений не существует. Оверхольт показал, что существует лишь конечное число решений при условии, что abc-гипотеза верна. Берндт и Галвей выполнили вычисления для n вплоть до 10 ⁹ и не нашли других решений .

Варианты задачи

Дабровский обобщил результат Оверхольта, показав, что из abc-гипотезы следует, что

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

имеет только конечное число решений для любого заданного числа A . Этот результат далее обобщил Лука , показав (снова в предположении верности abc гипотезы), что равенство

${\displaystyle n!=P(x)}$

имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочлена P ( x ) по меньшей мере второй степени с целыми коэффициентами.

Примечания

См. также

• Окружность Брокара
• Точка Брокара
• Треугольник Брокара

Литература

• Bruce C. Berndt, William F. Galway. The Brocard–Ramanujan diophantine equation n ! + 1 = m ² // The Ramanujan Journal. — 2000. — Т. 4 . — С. 41—42 . — doi : .
• H. Brocard. Question 166 // Nouv. Corres. Math. — 1876. — Т. 2 . — С. 287 .
• H. Brocard. Question 1532 // Nouv. Ann. Math. — 1885. — Т. 4 . — С. 391 .
• A. Dabrowski. On the Diophantine Equation x ! + A = y ² // Nieuw Arch. Wisk. — 1996. — Т. 14 . — С. 321—324 .
• R. K. Guy . Unsolved Problems in Number Theory // 2nd. — New York: Springer-Verlag, 1994. — С. 193—194 . — ISBN 0-387-90593-6 .
• Florian Luca. The diophantine equation P ( x ) = n ! and a result of M. Overholt // Glasnik Matematički. — 2002. — Т. 37 , вып. 57 . — С. 269—273 .
• Marius Overholt. The diophantine equation n ! + 1 = m ² // Bull. London Math. Soc. — 1993. — Т. 25 , вып. 2 . — С. 104 . — doi : .
• Стюарт Иэн. Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Copeland, Ed (неопр.) . Numberphile . Brady Haran. Дата обращения: 9 ноября 2014. Архивировано из 9 ноября 2014 года.