Трёхчленная квадратичная форма Рамануджана квадратичная форма ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ с неотрицательными целыми переменными ${\displaystyle x,y,z}$ , обладающая необычными свойствами.

Свойства формы, открытые Рамануджаном

Рамануджан рассматривал это выражение в примечании к своей статье , опубликованной в 1916 году. Описав необходимые и достаточные условия того, что целое не может быть представлено формой ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}$ для некоторых ${\displaystyle a,b,c}$ , Рамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут создать впечатление, что существуют столь же простые свойства для форм ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}$ при любых ${\displaystyle a,b,c}$ . Однако представляется, что в большинстве случаев всё не так просто». Чтобы подкрепить это утверждение Рамануджан привёл свойства формы, которая теперь называется его именем.

• Все чётные числа, не представимые формой ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ имеют вид ${\displaystyle 4^{p}(16q+6)}$ .
• Нечётные числа, не представимые формой ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ — 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... не описываются простым законом.

Числа больше 391

Многоточие в конце списка означало, что он неполон, но Рамануджан не сказал, считает он список конечным или бесконечным. В 1927 Бёртон и Гордон нашли не представимое число 679 и доказали, что остальные нечётные вплоть до 2000 представимы формой Рамануджана . В 1941 году, Гупта нашёл не представимое число 2719 и доказал, что других таких чисел нет вплоть до 20000. После создания современных компьютеров Голуэй проверил, что не представимых формой Рамануджана нечётных чисел больше нет вплоть до ${\displaystyle 10^{10}}$ . Исходя из этого и Сундарараджан предложили гипотезу:

Все нечётные положительные целые не представимые формой ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ это 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719 .

Известные результаты

Хотя гипотеза Оно полностью не доказана, относительно представимости чисел формой Рамануджана были получены важные новые результаты.

• Все целые вида ${\displaystyle 10n+5}$ представимы.
• Все нечётные не свободные от квадратов представимы.
• Существует только конечное число непредставимых нечётных чисел .
• Если обобщённая гипотеза Римана верна, то верна и гипотеза Оно.

Примечания