Числа харшад , или числа Нивена , — натуральные числа , делящиеся нацело на сумму своих цифр . Таким числом является, например, 1729 , так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91 .

Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.

Первые 50 чисел харшад, не меньших 10 :

10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления . Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления , называются обобщёнными числами харшад . Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.

История

Числа харшад были исследованы индийским математиком Даттараей Рамчандрой Капрекаром . Слово «харшад» происходит от санскритского IAST : harṣa «великая радость» .

Оценка плотности распределения чисел харшад

Пусть ${\displaystyle N(x)}$ — количество чисел харшад, не больших ${\displaystyle x}$ , тогда для любого ε > 0

${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}.}$

Жан-Мари де Конинк, Николас Доён и Катаи показали и доказали, что

${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},}$

где

${\displaystyle c={\frac {14}{27}}\ln 10\approx 1{,}1939.}$

См. также

• Нивен, Айвен

Примечания