142 857 ( сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь ) — натуральное число , расположенное между числами 142 856 и 142 858. Оно не является простым числом , а относительно последовательности простых чисел расположено между и .

Математические свойства

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое число

Если 142 857 умножать на 2 , 3 , 4 , 5 или 6 , результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142 857 .

1 × 142 857 = 142 857

2 × 142 857 = 285 714

3 × 142 857 = 428 571

4 × 142 857 = 571 428

5 × 142 857 = 714 285

6 × 142 857 = 857 142

7 × 142 857 = 999 999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ , ${\displaystyle {\frac {2}{7}}}$ и т. д.)

Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа , результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999 :

00000 8 × 142857 = 1142856 0000 ( после прибавления первой цифры к последней получается 142 857 )

0000 42 × 142857 = 5999994 0000 ( после прибавления первой цифры к последней получается 999 999 )

142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 ( после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857 )

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на ${\displaystyle {\frac {5}{10}}}$ или на ${\displaystyle {\frac {2}{10}}}$ соответственно) также можно получить сдвигом:

142 857 / 2 = 71 428.5

142 857 / 5 = 28 571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

${\displaystyle 857^{2}=734449}$

${\displaystyle 142^{2}=20164}$

${\displaystyle 734449-20164=714285}$

Как период обыкновенной дроби

Число 142 857 также является повторяющейся в периодической дроби ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$ . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами :

1/7 = 0. 142857 142857 142857 14…

2/7 = 0.2857 142857 142857 1428 …

3/7 = 0.42857 142857 142857 142 …

4/7 = 0.57 142857 142857 142857 …

5/7 = 0.7 142857 142857 142857 1…

6/7 = 0.857 142857 142857 14285 …

Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби) . Первые несколько значений n , для которых длина периода дроби 1/ n в десятичной записи равна n - 1 , равны 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131 .

Другие операции

Если десятичную запись числа 142 857 разбить на две части, то есть 142 и 857, и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99 .

Другие свойства

142 857 является также числом харшад :

${\displaystyle 142857=5291\cdot (1+4+2+8+5+7)}$

и числом Капрекара :

${\displaystyle 142857^{2}=20408122449,}$

${\displaystyle 142857=20408+122449.}$

См. также

• Теорема Миди
• 76 923
• Эннеаграмма

Примечания

Литература

• Мартин Гарднер . Лучшие математические игры и головоломки. — М. : АСТ, Астрель, 2009. — С. 111—121. — ISBN 978-5-17-058244-0 («Издательство АСТ»), 978-5-271-23247-3 («Издательство Астрель»).
• Яков Перельман . Магические кольца // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М. : Детгиз , 1954. — С. 90—96.
• David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.) . — 1st ed.. — Penguin Books , 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5 .
• Joe Roberts. (англ.) . — MAA , 1992. — P. . — ISBN 0-88385-502-X .