В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор ${\displaystyle P}$ , действующий в линейном пространстве , называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором ), если ${\displaystyle P^{2}=P}$ . Такой оператор называют идемпотентным .

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции .

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор ${\displaystyle P:X\to X}$ является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle X}$ , что ${\displaystyle X}$ раскладывается в их прямую сумму , и при этом для любой пары элементов ${\displaystyle u\in U,\ v\in V}$ имеем ${\displaystyle P(u+v)=u}$ . Подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ — соответственно образ и ядро проектора ${\displaystyle P}$ , и обозначаются ${\displaystyle \mathrm {Im} P}$ и ${\displaystyle \mathrm {Ker} P}$ .

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle X}$ , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с ${\displaystyle V}$ .

Свойства проекционных операторов

• Пусть ${\displaystyle I}$ — тождественный оператор . Если ${\displaystyle P}$ — проектор, то ${\displaystyle I-P}$ тоже проектор, причём ${\displaystyle \mathrm {Ker} {(I-P)}=\mathrm {Im} {P}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} {(I-P)}=\mathrm {Ker} P}$ .
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны .
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут , при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: ${\displaystyle X=\mathrm {Ker} P\oplus \mathrm {Im} \,P}$ .
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ — проекторы, заданные на векторном пространстве ${\displaystyle X}$ , и проецирующие на подпространства ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ соответственно. Тогда

• ${\displaystyle P_{1}+P_{2}}$ — проектор на подпространстве ${\displaystyle M_{1}\oplus M_{2}}$ , в том и только том случае, когда ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0}$ .
• ${\displaystyle P_{1}-P_{2}}$ является проектором тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}}$ . ${\displaystyle P_{1}-P_{2}}$ проецирует на подпространство ${\displaystyle M_{1}\cap (X\ominus M_{2})}$ .
• Если ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P}$ , то ${\displaystyle P}$ — проектор на подпространство ${\displaystyle M_{1}\cap M_{2}}$ .

Примеры

• Ортогональная проекция (см. ) точек ${\displaystyle (x,y,z)}$ пространства ${\displaystyle R^{3}}$ на плоскость ${\displaystyle Oxy}$ задаётся матрицей

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Действует на точки она следующим образом:

${\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}}$

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую . Он задаётся матрицей:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$

Легко показать, что это действительно проектор:

${\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}$

Проекция, задаваемая ${\displaystyle P}$ , ортогональна, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha =0}$ .

Ортогональный проектор

Если пространство ${\displaystyle X}$ — гильбертово , то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности ), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ ортогональны друг другу, иными словами, когда ${\displaystyle \forall u\in U,\forall v\in V}$ ${\displaystyle (u,v)=0}$ , или ${\displaystyle u\cdot v=0}$ , или ${\displaystyle u\perp v=0}$ . В этом случае проекция элемента ${\displaystyle x\in X}$ является ближайшим к нему элементом пространства ${\displaystyle U}$ .

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука , 1980 . — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз , 1963 . — 264 с.