Идемпоте́нтность («равносильность» от лат. «тот же самый» + «способный») — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат , что и при первом. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс ( англ. Benjamin Peirce ) в статьях 1870-х годов.

Примеры идемпотентных операций:

• сложение с нулём : ${\displaystyle a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=\dots }$ ;
• умножение на единицу : ${\displaystyle x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=\dots }$ ;
• модуль числа: ${\displaystyle |x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=\dots }$ ;
• выбор максимального значения: ${\displaystyle \max(x,y)=\max(\max(x,y),y)=\max(x,\max(x,y))}$ ;
• вычисление наибольшего общего делителя : ${\displaystyle \operatorname {gcd} (x,y)=\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),y)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (x,y))}$ ;
• сложение по модулю 2 с нулём : ${\displaystyle a=a\oplus 0=(a\oplus 0)\oplus 0=\dots }$ ;
• нахождение остатка от деления : ${\displaystyle r=a\mod b=(a\mod b)\mod b=\dots }$ ;
• возведение в степень единицы: ${\displaystyle a^{1}=(a^{1})^{1}=((a^{1})^{1})^{1}\dots }$ .

Элемент

Идемпотентный элемент ( идемпотент ) в алгебре — элемент полугруппы , сохраняющийся при умножении самого на себя: ${\displaystyle e^{2}=e}$ . Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент ${\displaystyle e}$ содержит идемпотентный элемент ${\displaystyle f}$ (обозначается ${\displaystyle e\geqslant f}$ ), если ${\displaystyle ef=e=fe}$ . Отношение ${\displaystyle \geqslant }$ является отношением частичного порядка в множестве ${\displaystyle E}$ идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве ${\displaystyle E}$ .

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ называются ортогональными , если ${\displaystyle uv=0=vu}$ .

Операция

Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

${\displaystyle \forall x:\quad x\cdot x=x}$ .

Этим свойством обладают, например, логическое И и логическое ИЛИ .

Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется ${\displaystyle \forall x:f(f(x))=f(x)}$ , или ${\displaystyle f\circ f=f}$ .

Из линейных операторов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ идемпотентны только тождественный оператор , нулевой оператор и параллельная проекция . Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как ${\displaystyle P\circ P=P}$ .

В информатике

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP . По спецификации, сервер должен возвращать идентичные ответы на идентичные GET-запросы (при условии, что ресурс не изменился). Это позволяет корректно кэшировать эти ответы, снижая нагрузку на сеть.

Для препроцессора языка Си директива « #include "xxx.h" » является идемпотентной, если в заголовочном файле есть защита от двойного включения .

Литература

• Peirce B. . 1870.
• Gunawardena, Jeremy (1998), "An introduction to idempotency", in Gunawardena, Jeremy (ed.), (PDF) , Cambridge: Cambridge University Press , pp. 1—49, Zbl
• Идемпотентность — статья из Математической энциклопедии . Иванова О. А.