Interested Article - Конструктивное доказательство

Конструктивное доказательство — доказательство , в котором существование математического объекта доказывается путем прямого построения — в отличие от неконструктивного доказательства (также известного как чистая теорема существования ), которое доказывает существование объекта с определёнными свойствами без предоставления конкретного примера.

Конструктивная математика отвергает всё, кроме конструктивного доказательства. Это приводит к ограничению на допустимые методы доказательства (в частности, закон исключенного третьего не используется), а также другому пониманию терминов. Например, термин «или» имеет более сильное значение в конструктивной математике, чем в классической.

Иногда используется эквивалентный термин «эффективное доказательство» .

Примеры

Бесконечность множества простых чисел

Сначала рассмотрим теорему о том, что существует бесконечное множество простых чисел . Доказательство Евклида является конструктивным.

Однако распространенное упрощение этого доказательства, которое ведётся методом от противного из предположения, что существует лишь конечное число простых, конструктивным не является.

Неконструктивное доказательство

Предположим, что M — самое большое простое число. Тогда M! + 1 не делится ни на одно из имеющихся простых чисел — а значит, новое простое число.

Конструктивное доказательство

Возьмём какое-то простое число, например, a ₁ = 2 . Строим последовательность a ₂ = 2! + 1 , a ₃ = a ₂ ! + 1 , и т. д. Все эти числа будут простыми.

Иррациональная степень иррационального

Теперь рассмотрим теорему

Существуют иррациональные числа $a$ и $b$ такие, что $a^{b}$ является рациональным .

Эта теорема может быть доказана конструктивно и неконструктивнo.

Неконструктивное доказательство

Следующее доказательство Дова Джардена 1953 года широко использовалось в качестве примера неконструктивного доказательства, по крайней мере с 1970 года .

Напомним, что ${\sqrt {2}}$ иррационален . Заметим, что ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ рационально либо иррационально. Если ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ рационально, то теорема верна, с $a={\sqrt {2}}$ и $b={\sqrt {2}}$ . Если ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ иррационально, то теорема верна, с $a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ и $b={\sqrt {2}}$ поскольку

({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

Это доказательство не является конструктивным, потому что оно опирается на утверждение, что любое число рационально или иррационально. Это пример применения закона исключенного третьего , который не является допустимым в рамках конструктивного доказательства.

Заметим, что неконструктивное доказательство не даёт пример $a$ и $b$ ; оно лишь дает несколько возможностей (в данном случае двух) и показывает, что одно из них есть нужный пример, но не говорит, какой.

На самом деле, ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ иррационально по теореме Гельфонда — Шнайдера , но этот факт не имеет отношения к справедливости неконструктивного доказательства приведённого выше.

Конструктивное доказательство

Пусть

a={\sqrt {2}},\quad b=\log _{2}9,\quad {\text{тогда}}\quad a^{b}=3.

Оба числа иррациональны; $a$ — квадратный корень из 2 и если $b={\tfrac {m}{n}}$ , то $3^{2\cdot n}=2^{m}$ , что невозможно, так как первое число нечетное, а второе четное.

См. также

Примечания

Практика — критерий истины в науке. — М. : Издательство социально-экономической литературы, 1960. — С. 151.
Dov Jarden. A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational (англ.) // (англ.) ( . — 1953. — No. 19 . — P. 229 .