Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it ), выдвинутая Атле Сельбергом .

Гипотеза Сельберга является усилением _en . Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул гипотезу, что при фиксированном ${\displaystyle \varepsilon }$ с условием ${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$ , достаточно большом ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ , ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ , промежуток ${\displaystyle (T,T+H)}$ содержит не менее ${\displaystyle cH\ln T}$ вещественных нулей дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$ . Сельберг доказал справедливость утверждения для случая ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$ .

Доказательство гипотезы

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга .

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при ${\displaystyle T\to +\infty }$ .

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал , что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков ${\displaystyle (T,T+H]}$ , ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$ , где ${\displaystyle \varepsilon }$ — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках ${\displaystyle (T,T+H]}$ , длина ${\displaystyle H}$ которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени ${\displaystyle T}$ . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ${\displaystyle \varepsilon }$ , ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ с условием ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ почти все промежутки ${\displaystyle (T,T+H]}$ при ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ содержат не менее ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ нулей функции ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана .

Примечания