Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина утверждает, что для динамической системы , сохраняющей меру и интегрируемой по этой мере функции на пространстве для почти всех начальных точек соответствующие им временны́е средние сходятся. Более того, если инвариантная мера эргодична , то для почти всех начальных точек предел один и тот же — интеграл функции по данной мере. Этот принцип формулируется как «временно́е среднее для почти всех начальных точек равно пространственному» .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to X}$ — сохраняющее меру ${\displaystyle \mu }$ отображение, и функция ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle X}$ интегрируема по мере ${\displaystyle \mu }$ . Тогда временны́е средние ${\displaystyle \varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\varphi (f^{j}(x))}$ сходятся к некоторой инвариантной функции ${\displaystyle {\bar {\varphi }}}$ :

${\displaystyle \varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\varphi (f^{j}(x)){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}{\bar {\varphi }}(x),}$

причём сходимость имеет место как в ${\displaystyle L_{1}(X,\;\mu )}$ , так и почти всюду по мере ${\displaystyle \mu }$ .

Связь с законом больших чисел

Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова может быть получен как следствие теоремы Биркгофа — Хинчина. А именно, поскольку ясно, что от конкретной реализации случайных величин результат не зависит, можно считать, что вероятностное пространство имеет вид

${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\{\omega =(\omega _{1},\;\omega _{2},\;\ldots )\}}$

с мерой ${\displaystyle P=\mu ^{\mathbb {N} }}$ , а случайные величины устроены как ${\displaystyle \xi _{n}(\omega )=\omega _{n}}$ (мера ${\displaystyle \mu }$ даёт распределение значений любого из ${\displaystyle \xi _{n}}$ ). Тогда мера ${\displaystyle P}$ эргодична относительно левого сдвига — сохраняющего её преобразования

${\displaystyle T\colon (\omega _{1},\;\omega _{2},\;\ldots )\mapsto (\omega _{2},\;\omega _{3},\;\ldots ).}$

С другой стороны, функция ${\displaystyle \varphi =\xi _{1}}$ интегрируема по мере ${\displaystyle P}$ , а ${\displaystyle \xi _{n}=\varphi \circ T^{n-1}}$ . Поэтому чезаровские средние ${\displaystyle (\xi _{1}+\ldots +\xi _{n})/n}$ могут быть записаны как временны́е средние для динамической системы ${\displaystyle (\Omega ,\;P,\;T)}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\varphi \circ T^{j}(\omega ).}$

Поэтому в силу теоремы Биркгофа — Хинчина почти наверное

${\displaystyle {\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\varphi \circ T^{j}(\omega ){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\int _{\Omega }\varphi \,dP=\int _{\mathbb {R} }x\,d\mu (x)=\mathbb {E} \xi _{1}.}$

Это и есть заключение усиленного закона больших чисел.

Примечания

Литература

• Каток А. Б. , . Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО , 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1 .
• Малинецкий Г. Г. , Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М. : Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7 .