Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант , который, грубо говоря, измеряет размер ( ^* ) алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и он определяет, какие простые числа .

Дискриминант является наиболее важным инвариантом числового поля и появляется в некоторых важных аналитических формулах, таких как дзета-функции Дедекинда поля K и поля K . Старая теорема Эрмита утверждает, что имеется лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение этого числа остаётся открытой проблемой и является предметом исследований .

Дискриминант поля K может называться абсолютным дискриминантом поля K для того, чтобы отличить его от относительного дискриминанта расширения K / L числовых полей. Последнее является идеалом в кольце целых чисел поля L и подобно абсолютному дискриминанту показывает, какие простые числа разветвляются в K / L . Он является обобщением абсолютного дискриминанта, позволяющим полю L быть больше ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Фактически, когда ${\displaystyle L=\mathbb {Q} }$ , относительный дискриминант ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ является главным идеалом кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , порождаемого абсолютным дискриминантом поля K .

Определение

Пусть K будет алгебраическим числовым полем и пусть O _K будет его ^* . Пусть ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ будет ^* кольца O _K (т.е. базис как Z -модуль ), и пусть ${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$ — множество вложений поля K в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец ${\displaystyle K\rightarrow \mathbb {C} }$ ). Дискриминант поля K равен квадрату определителя n х n B , ( i , j )-элементы которой равны ${\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}$ . В символической форме,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

Эквивалентно, можно использовать след из K в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . В частности, определим форму следа как матрицу, ( i , j )-элементы которой равны ${\displaystyle \mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$ . Эта матрица равна B ^T B , так что дискриминант поля K является определителем этой матрицы.

Примеры

• Квадратичные числовые поля : пусть d является свободным от квадратов числом , тогда дискриминант поля ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ равен

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

Целое число, которое появляется как дискриминант квадратичного числового поля, называется фундаментальным дискриминантом .

• Круговые поля : пусть n > 2 является целым числом, ${\displaystyle \zeta _{n}}$ — примитивным n -ым корнем из единицы , а ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ — n -ым круговым полем. Дискриминант поля ${\displaystyle K_{n}}$ задаётся формулой

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

где ${\displaystyle \varphi (n)}$ — функция Эйлера , а произведение в знаменателе пробегает по всем простым p , делящим n .

• Степенные базисы: В случае, когда кольцо целых чисел имеет , то есть может быть записано как ${\displaystyle O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]}$ , дискриминант поля K равен дискриминанту минимального многочлена от ${\displaystyle \alpha }$ . Чтобы это увидеть, можно выбрать целочисленный базис кольца ${\displaystyle O_{K}}$ равным ${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1}}$ . Тогда матрица в определении является матрицей Вандермонда , ассоциированной с ${\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}$ , квадрат определителя которого равен

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

что в точности совпадает с определением дискриминанта минимального многочлена.

• Пусть ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ будет числовым полем, полученным присоединением корня ${\displaystyle \alpha }$ многочлена ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8}$ . Данный пример является оригинальным примером Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задаётся как ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\}}$ , а дискриминант поля K равен −503 .
• Дублирующиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля единственным образом определяет его, но в общем случае для числовых полей более высокой степени это неверно. Например, имеется два неизоморфных с дискриминантом 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x ³ − 21 x + 28 или x ³ − 21 x − 35 соответственно .

Основные результаты

• Теорема Брилля : Знак дискриминанта равен ${\displaystyle (-1)^{r_{2}}}$ , где r ₂ — число комплексных точек поля K .
• Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит ${\displaystyle \Delta _{K}}$ .
• Теорема Штикельбергера :

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0}$ или ${\displaystyle 1{\pmod {4}}.}$

• : Пусть n обозначает расширения ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ , а r ₂ обозначает число комплексных мест поля K , тогда

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• Теорема Минковского : Если K не равно ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , тогда ${\displaystyle |\Delta _{K}|>1}$ (это следует прямо из границы Минковского).
• : Пусть N — положительное целое. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) алгебраических числовых полей K с ${\displaystyle |\Delta _{K}|<N}$ . Снова, это следует из границы Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует лишь конечное число алгебраических полей с предписанным дискриминантом).

История

Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля K было дано Дедекиндом в 1871 . В это время он уже знал о связи между дискриминантом и разветвлением .

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта и доказательство её Шарль Эрмит опубликовал в 1857 . В 1877 Александр фон Брилль определил знак детерминанта . Леопольд Кронекер сформулировал теорему Минковского в 1882 , хотя доказательство её Герман Минковский дал лишь в 1891 . В том же году Минковский опубликовал свою границу детерминанта . К концу девятнадцатого века получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре .

Относительный дискриминант

О дискриминанте, определённом выше, иногда говорят как об абсолютном дискриминанте поля K , чтобы отличить его от относительного дискриминанта ${\displaystyle \Delta _{K}/L}$ расширения числовых полей K / L , который является идеалом в O _L . Относительный дискриминант определяется так же, как и абсолютный дискриминант, но следует принимать во внимание, что идеал в O _L может не быть главным и что O _L может не быть базисом O _K . Пусть ${\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}}$ будет множеством вложений K в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , которые являются единицами на L . Если ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ является каким-либо базисом поля K над L , пусть ${\displaystyle d(b_{1},\dots ,b_{n}}$ ) будет квадратом детерминанта n х n матрицы, ( i , j )-элементы которой равны ${\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}$ . Тогда относительный дискриминант расширения K / L является идеалом, порождённым ${\displaystyle d(b_{1},\dots ,b_{n})}$ , где ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$ пробегает по всем целочисленным базисам расширения K / L . (т.е. по базисам со свойством, что ${\displaystyle b_{i}\in O_{K}}$ для всех i .) Альтернативно, относительный дискриминант расширения K / L равен K / L . Когда ${\displaystyle L=\mathbb {Q} }$ , относительный дискриминант ${\displaystyle \Delta _{K/\mathbb {Q} }}$ является главным идеалом кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , порождаемым абсолютным дискриминантом ${\displaystyle \Delta _{K}}$ . В башне полей K / L / F относительные дискриминанты связаны выражением

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$ ,

где ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ обозначает относительную норму .

Разветвление

Относительный дискриминант определяет расширения поля K / L . Главный идеал p поля L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант ${\displaystyle \Delta _{K/L}}$ . Расширение разветвляется тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом . Граница Минковского выше показывает, что не имеется нетривиальных неразветвлённых расширений поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Поля, которые больше ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , могут иметь неразветвлённые расширения. Например, для любого поля с числом классов , бо́льшим единицы его , является нетривиальным неразветвлённым расширением.

Корневой дискриминант

Корневой дискриминант числового поля K степени n , часто обозначаемый rd _K , определяется как n -ый корень абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта поля K . Соотношения между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвлённом расширении. Существование башни полей классов даёт границы для корневого дискриминанта — существование бесконечной башни полей классов над ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$ , где m = 3·5·7·11·19, показывает, что имеется бесконечно иного полей с корневым дискриминантом 2 √ m ≈ 296,276 . Если r и 2 s равны числу вещественных и комплексных вложений, так что ${\displaystyle n=r+2s}$ , положим ${\displaystyle \rho =r/n}$ и ${\displaystyle \sigma =2s/n}$ . Обозначим через ${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )}$ инфимум rd _K для полей K с ${\displaystyle (r',2s')=({\rho }n,{\sigma }n)}$ . Мы имеем (для достаточно больших)

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 60,8^{\rho }22,3^{\sigma }}$ ,

а в предположении верности обобщённой гипотезы Римана

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 215,3^{\rho }44,7^{\sigma }.}$

Таким образом, мы имеем ${\displaystyle \alpha (0,1)<296,276}$ . Мартине показал, что ${\displaystyle \alpha (0,1)<93}$ и ${\displaystyle \alpha (1,0)<1059}$ . Войт доказал, что для чисто вещественных полей корневой дискриминант > 14 с 1229 исключениями.

Связь с другими величинами

• При вложении в ${\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} }$ объём фундаментальной области кольца O _K равен ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ (иногда используется другая мера и объём получается равным ${\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ , где r ₂ — число комплексных мест поля K ).
• Поскольку дискриминант появляется в этой формуле для объёма, он также появляется в функциональном уравнении дзета-функция Дедекинда поля K , а потому также в аналитической формуле числа классов и в .
• Относительный дискриминант расширения K / L равен группы Галуа расширения K / L . Это даёт связь между кондукторами Артина и группы Галуа расширения K / L , которая называется .

Примечания

Литература

Литература для дальнейшего чтения

• James S. Milne. . — 1998.