В теории хаоса , корреляционным интегралом называется усреднённая вероятность того, что состояния системы в два различных момента времени кажутся близкими:

${\displaystyle C(\varepsilon )=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\Theta (\varepsilon -||{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)||),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},}$

где ${\displaystyle N}$ есть объём выборки ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$ , ${\displaystyle \varepsilon }$ — пороговое расстояние, ${\displaystyle ||\cdot ||}$ — норма (напр., евклидова норма ) и ${\displaystyle \Theta (\cdot )}$ — функция Хевисайда . Если известны лишь значения временного ряда , фазовое пространство может быть восстановлено с использованием вложения по времени задержки (см. ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

Здесь ${\displaystyle u(i)}$ — временной ряд, ${\displaystyle m}$ — размерность вложения, а ${\displaystyle \tau }$ — временная задержка.

Корреляционный интеграл используется для вычисления .

Оценка корреляционного интеграла даётся корреляционной суммой:

${\displaystyle C(\varepsilon )={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\Theta (\varepsilon -||{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)||),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

См. также

• Теория хаоса

Примечания

• P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors (неопр.) // Physica. — 1983. — Т. 9D . — С. 189—208 .