Свойство удвоения — условие, накладываемое на меры, определённые на метрических пространствах, а также на сами метрические пространства.

Определения

Меры

Напомним, что в произвольном метрическом пространстве ${\displaystyle B(x,r)}$ обозначает шар с центром ${\displaystyle x}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ .

Ненулевая мера ${\displaystyle \mu }$ на метрическом пространстве удовлетворяет свойству удвоения , если существует постоянная ${\displaystyle C}$ такая, что

${\displaystyle 0<\mu [B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot \mu [B(x,r)]<\infty }$

для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle r>0}$ .

Метрические пространства

Метрическое пространство ${\displaystyle X}$ удовлетворяет свойству удвоения , если существует постоянная ${\displaystyle M}$ , такая, что любой шар радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle X}$ можно покрыть ${\displaystyle M}$ шарами радиуса ${\displaystyle r/2}$ .

Замечания

Иногда рассматривается более слабый вариант свойства удвоение при котором требуется, что радиус ${\displaystyle r}$ не превышает некоторой положительной константы ${\displaystyle r_{0}}$ .

Свойства

• Любое метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей свойству удвоения, само удовлетворяет свойству удвоения.
  • И наоборот, на любом полном метрическом пространстве со свойством удвоения существует мера со свойством удвоения.

• (Теорема Ассуада) Пусть метрическое пространство ${\displaystyle (X,d)}$ удовлетворяет свойству удвоения, тогда для любого ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ , пространство ${\displaystyle (X,d^{\alpha })}$ допускает билипшицево вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности.

• Для метрических пространств со свойством удвоения выполняется слабый вариант теоремы Киршбрауна . А именно, если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство со свойством удвоения и ${\displaystyle A\subset X}$ и ${\displaystyle V}$ — банахово пространство, то любое ${\displaystyle L}$ -Липшицево отображение ${\displaystyle A\to V}$ продолжается до ${\displaystyle C\cdot L}$ -Липшицева отображения ${\displaystyle X\to V}$ , где константа ${\displaystyle C}$ зависит только от параметра в свойстве удвоения.

• Лемма Витали о покрытиях применима на произвольных метрических пространствах для мер ${\displaystyle \mu }$ обладающих свойством удвоения.

• Если ${\displaystyle X}$ — пространство со свойством удвоения, то существует функция ${\displaystyle M:(0,1)\to \mathbb {N} }$ , такая, что любой шар радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle X}$ можно покрыть ${\displaystyle M(\varepsilon )}$ шарами радиуса ${\displaystyle \varepsilon \cdot r}$ .
  • Более того, можно предположить, что

    ${\displaystyle M(\varepsilon )\leqslant {\frac {c}{\varepsilon ^{d}}}}$

для некоторых констант ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ . При этом точная нижняя грань ${\displaystyle d}$ называется размерностью Ассуада пространства ${\displaystyle X}$ .

Примеры

• Мера Лебега в евклидовом пространстве удовлетворяет свойству удвоения. Постоянная равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}}$ , где ${\displaystyle m}$ обозначает размерность.
• Eвклидова плоскость удовлетворяет свойство удвоения с константой ${\displaystyle M=7}$ .
• Размерность евклидова пространства совпадает с его размерностью Ассуада.

Примечания

Литература

• J. Heinonen. Lectures on analysis on metric spaces. — New York: Springer-Verlag, 2001. — (Universitext).