Interested Article - Парная корреляционная гипотеза Монтгомери

Хью Монтгомери в Обервольфахе в 2008 году

Па́рная корреляцио́нная гипо́теза Монтго́мери — гипотеза американского математика Хью Монтгомери ( 1973 ) о том, что парная корреляция между парами нулей дзета-функции Римана (нормированная к единице среднего расстояния) есть :

что, как указал ему (1972) Фримен Дайсон , совпадает с парной корреляционной функцией (иначе говоря — с формфактором для парных корреляций) собственных значений гауссовых случайных эрмитовых матриц . Неформально это означает, что вероятность нахождения нуля в очень коротком интервале длины 2π L /log( T ) на расстоянии 2π u /log( T ) от нуля 1/2+ iT примерно в L раз превышает приведённое выше выражение (коэффициент 2π/log( T ) является нормировочным фактором, который можно неофициально представить как среднее расстояние между нулями с мнимой частью относительно T ). (англ.) (1987) показал , что гипотеза была подтверждена крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей дзета-функции Римана. Гипотеза была распространена на корреляции более 2 нулей, а также на дзета-функции автоморфных представлений . В 1982 году студент Монтгомери Али Эрхан Озлюк доказал гипотезу о парной корреляции для некоторых L-функций Дирихле .

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству гипотезы Римана . Гипотеза Гильберта — Пойи утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора , и подразумевает RH. Ряд исследователей считают, что это является перспективным подходом .

Монтгомери изучал преобразование Фурье F ( x ) парной корреляционной функции и показал (предполагая гипотезу Римана), что она равна | x | для | x |<1. Его методы не смогли определить его для | x |≥1, но он предположил, что он был равен 1 для этих x , что подразумевает, что парная корреляционная функция такая же, как и выше. Он также был мотивирован тем, что гипотеза Римана не является «кирпичной стеной», и можно смело высказывать более сильные предположения.

Численный подсчёт Одлыжко

Вещественная линия описывает двухточечную корреляционную функцию случайной матрицы типа ГУА. Синие точки описывают нормализованные расстояния первых 10 5 нетривиальных нулей дзета-функции Римана.

В 1980-х годах, мотивированный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей дзета-функции Римана. Используя самый быстрый в мире суперкомпьютер Cray X-MP , проведя детальные численные расчёты, он продемонстрировал подтверждение гипотезы Монтгомери и соответствие распределения расстояний между нетривиальными нулями собственным значениям случайной матрицы гауссова унитарного ансамбля (ГУА). Результаты Одлыжко опубликовал в 1987 году в статье «О распределении интервалов между нулями дзета-функции» .

Как отмечает Дербишир , результаты Одлыжко оказались не полностью убедительными — малых интервалов получилось несколько больше, чем предсказывалось моделью ГУА. Дальнейшие исследования прояснили ситуацию с несоответствиями, и парная корреляционная гипотеза Монтгомери стала «законом Монтгомери — Одлыжко» (впервые упоминание о «законе Монтгомери — Одлыжко» появилось в статье Николаса Каца и Питера Сарнака 1999 года):

Распределение интервалов между последовательными нетривиальными нулями дзета-функции Римана (в правильной нормировке) статистически тождественно распределению собственных значений ГУА-оператора.

Для нетривиального нуля, 1/2+iγ n , пусть нормированные расстояния будут

Тогда мы ожидаем следующую формулу в качестве предела для :

Основываясь на новом алгоритме, разработанном Одлыжко и (англ.) , позволившим им вычислить значение ζ(1/2 + it) в среднем времени t ε шагов, Одлыжко вычислил миллионы нулей на высотах около 10 20 и дал ряд доказательств для ГУА-гипотезы .

На рисунке представлены первые 10 5 нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Чем больше выборок из нулей, тем ближе их распределение приближается к форме случайной матрицы ГУА.

Связь с квантовым хаосом

Как указывает кандидат физико - математических наук Трушечкин А. С., распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана тесно связано с явлением квантового хаоса :

Явление квантового хаоса оказалось тесно связано с распределением нетривиальных нулей дзета-функции Римана (Монтгомери, 1973 г., Одлыжко, 1987 г.). Одним из подходов к известной проблеме о нулях дзета-функции был предложен Гильбертом и Пойей . Согласно их гипотезе , нетривиальные нули дзета-функции соответствуют собственным значениям некоторого самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве . В 1986 г. Берри предположил, что этот самосопряжённый оператор может являться оператором Гамильтона квантовой системы, которая соответствует классической хаотической системе . Позже Конн , а также Берри и (англ.) предложили гамильтонианы , у которых первые два ведущих члена в распределении собственных значений в квазиклассическом пределе совпадают с соответствующими членами распределения нетривиальных нулей дзета-функции (даваемыми формулой Римана–Мангольдта ).

Примечания

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
  9. .

Литература

Ссылки

  • Трушечкин, А. С. : сайт. — 2013.
  • Трушечкин, А. С. : сайт. — 2013.
Источник —

Same as Парная корреляционная гипотеза Монтгомери