Па́рная корреляцио́нная гипо́теза Монтго́мери — гипотеза американского математика Хью Монтгомери ( 1973 ) о том, что парная корреляция между парами нулей дзета-функции Римана (нормированная к единице среднего расстояния) есть :

${\displaystyle 1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}+\delta (u),}$

что, как указал ему (1972) Фримен Дайсон , совпадает с парной корреляционной функцией (иначе говоря — с формфактором для парных корреляций) собственных значений гауссовых случайных эрмитовых матриц . Неформально это означает, что вероятность нахождения нуля в очень коротком интервале длины 2π L /log( T ) на расстоянии 2π u /log( T ) от нуля 1/2+ iT примерно в L раз превышает приведённое выше выражение (коэффициент 2π/log( T ) является нормировочным фактором, который можно неофициально представить как среднее расстояние между нулями с мнимой частью относительно T ). (англ.) ( (1987) показал , что гипотеза была подтверждена крупномасштабными компьютерными вычислениями нулей дзета-функции Римана. Гипотеза была распространена на корреляции более 2 нулей, а также на дзета-функции автоморфных представлений . В 1982 году студент Монтгомери Али Эрхан Озлюк доказал гипотезу о парной корреляции для некоторых L-функций Дирихле .

Связь со случайными унитарными матрицами может привести к доказательству гипотезы Римана . Гипотеза Гильберта — Пойи утверждает, что нули дзета-функции Римана соответствуют собственным значениям линейного оператора , и подразумевает RH. Ряд исследователей считают, что это является перспективным подходом .

Монтгомери изучал преобразование Фурье F ( x ) парной корреляционной функции и показал (предполагая гипотезу Римана), что она равна | x | для | x |<1. Его методы не смогли определить его для | x |≥1, но он предположил, что он был равен 1 для этих x , что подразумевает, что парная корреляционная функция такая же, как и выше. Он также был мотивирован тем, что гипотеза Римана не является «кирпичной стеной», и можно смело высказывать более сильные предположения.

Численный подсчёт Одлыжко

В 1980-х годах, мотивированный гипотезой Монтгомери, Одлыжко начал интенсивное численное исследование статистики нулей дзета-функции Римана. Используя самый быстрый в мире суперкомпьютер Cray X-MP , проведя детальные численные расчёты, он продемонстрировал подтверждение гипотезы Монтгомери и соответствие распределения расстояний между нетривиальными нулями собственным значениям случайной матрицы гауссова унитарного ансамбля (ГУА). Результаты Одлыжко опубликовал в 1987 году в статье «О распределении интервалов между нулями дзета-функции» .

Как отмечает Дербишир , результаты Одлыжко оказались не полностью убедительными — малых интервалов получилось несколько больше, чем предсказывалось моделью ГУА. Дальнейшие исследования прояснили ситуацию с несоответствиями, и парная корреляционная гипотеза Монтгомери стала «законом Монтгомери — Одлыжко» (впервые упоминание о «законе Монтгомери — Одлыжко» появилось в статье Николаса Каца и Питера Сарнака 1999 года):

Распределение интервалов между последовательными нетривиальными нулями дзета-функции Римана (в правильной нормировке) статистически тождественно распределению собственных значений ГУА-оператора.

Для нетривиального нуля, 1/2+iγ _n , пусть нормированные расстояния будут

${\displaystyle \delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}{\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}.}$

Тогда мы ожидаем следующую формулу в качестве предела для ${\displaystyle M,N\to \infty }$ :

${\displaystyle {\frac {1}{M}}\{(n,k)|N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,}$ ${\displaystyle \delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}}$ ${\displaystyle \sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du}$

Основываясь на новом алгоритме, разработанном Одлыжко и (англ.) ( , позволившим им вычислить значение ζ(1/2 + it) в среднем времени t ^ε шагов, Одлыжко вычислил миллионы нулей на высотах около 10 ²⁰ и дал ряд доказательств для ГУА-гипотезы .

На рисунке представлены первые 10 ⁵ нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Чем больше выборок из нулей, тем ближе их распределение приближается к форме случайной матрицы ГУА.

Связь с квантовым хаосом

Как указывает кандидат физико - математических наук Трушечкин А. С., распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана тесно связано с явлением квантового хаоса :

Явление квантового хаоса оказалось тесно связано с распределением нетривиальных нулей дзета-функции Римана (Монтгомери, 1973 г., Одлыжко, 1987 г.). Одним из подходов к известной проблеме о нулях дзета-функции был предложен Гильбертом и Пойей . Согласно их гипотезе , нетривиальные нули дзета-функции соответствуют собственным значениям некоторого самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве . В 1986 г. Берри предположил, что этот самосопряжённый оператор может являться оператором Гамильтона квантовой системы, которая соответствует классической хаотической системе . Позже Конн , а также Берри и (англ.) ( предложили гамильтонианы , у которых первые два ведущих члена в распределении собственных значений в квазиклассическом пределе совпадают с соответствующими членами распределения нетривиальных нулей дзета-функции (даваемыми формулой Римана–Мангольдта ).

Примечания

Литература

• Дербишир Д. Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике = Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics / пер. с англ. А. М. Семихатова. — М. : Астрель : Corpus , 2010. — 464 с. — 5000 экз. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
• Стюарт И. Величайшие математические задачи / пер. с англ. Н. Лисовой. — М. : Альпина нон-фикшн , 2015. — 460 с. — 5000 экз. — ISBN 978-5-91671-318-3 .
• (англ.) ( , Sarnak P. (англ.) // Bulletin. New Series : journal. — American Mathematical Society , 1999. — Vol. 36 , iss. 1 . — P. 1—26 . — ISSN . — doi : .
• Montgomery H. L. The pair correlation of zeros of the zeta function. Analytic number theory (англ.) // : journal. — Providence , R.I. : American Mathematical Society , 1973. — Vol. XXIV . — P. 181—193 .
• (англ.) ( . On the distribution of spacings between zeros of the zeta function (англ.) // : journal. — Providence , R.I. : American Mathematical Society , 1987. — Vol. 48 , iss. 177 . — P. 273—308 . — ISSN . — doi : .
• (англ.) ( . The 10 ²⁰ -th zero of the Riemann zeta function and 70 million of its neighbors (англ.) // AT&T Bell Lab. preprint. — AT&T Bell Lab. , 1989.
• Rudnick Z., Sarnak P. Zeros of principal L-functions and random matrix theory (англ.) // : journal. — Duke University Press , 1996. — Vol. 81 , iss. 2 . — P. 269—322 . — ISSN . — doi : .
• Özlük A. E. Pair Correlation of Zeros of Dirichlet's L-functions (англ.) : Ph. D. Dissertation. — Ann Arbor : University of Michigan , 1982.

Ссылки

• Трушечкин, А. С. : сайт. — 2013.
• Трушечкин, А. С. : сайт. — 2013.