Формула Римана — фон Мангольдта — выражение, описывающее распределение нулей дзета-функции Римана ; число нулей дзета-функции с мнимой частью большей 0 и не превосходящей заданное число ${\displaystyle T}$ удовлетворяет следующему соотношению :

${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T})}$ .

Впервые дана Риманом в работе ( 1859 ), окончательно доказана Мангольдтом в 1905 году .

В 1918 году финский математик ( Ralf Josef Bäcklund ; 1888—1949) вывел явную оценку ошибки для всех ${\displaystyle T>2}$ :

${\displaystyle \left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0{,}137\log T+0{,}443\log \log T+4{,}350}$ .

Примечания

Литература

• (англ.) ( . Riemann’s zeta function. — New York — London: Academic Press, 1974. — Т. 58. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 0-12-232750-0 .
• Ivić Aleksandar. The theory of Hardy's Z -function. — Cambridge: Cambridge University Press , 2013. — Т. 196. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-1-107-02883-8 .
• Patterson S. J. An introduction to the theory of the Riemann zeta-function. — Cambridge: Cambridge University Press , 1988. — Т. 14. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-33535-3 .
• Weisstein Eric W. (англ.) . MathWorld .