Коммутативность , переместительный закон ( позднелат. commutativus — меняющийся) — свойство бинарной операции « ${\displaystyle \circ }$ », заключающееся в возможности перестановки аргументов:

${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$ для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$ .

В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой . Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.

Термин «коммутативность» ввёл в 1815 году французский математик .

Примеры:

• сумма и произведение действительных чисел коммутативны:

  ${\displaystyle a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R} }$ .

• конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:

  ${\displaystyle a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a}$ .

• объединение , пересечение и симметрическая разность множеств коммутативны:

  ${\displaystyle A\cup B=B\cup A;\quad A\cap B=B\cap A;\quad A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A.}$

Многие бинарные операции ассоциативны , но в общем случае некоммутативны, таково, например, умножение матриц :

${\displaystyle {\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}{\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}={\tbinom {34\ 49}{16\ 72}}}$ , но ${\displaystyle {\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}{\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}={\tbinom {82\ \,8\,}{38\ 24}}}$

и конкатенация строк:

«a» + «b» = «ab», но «b» + «a» = «ba».

При этом не всякая коммутативная операция ассоциативна (существуют с неассоциативной операцией).

Существует ряд обобщений понятия коммутативности на операции более двух аргументов (различные варианты симметричности).

Коммутативные операции формируют обширный пласт алгебраических структур , обладающих многими «хорошими» свойствами, не присущими некоммутативным структурам (например, коммутативные группы в сравнении неабелевыми ), во многих разделах математики применяется техника сведения задач к коммутативным структурам как к более изученным и обладающим более удобными свойствами. Коммутативная алгебра — общеалгебраическое направление, изучающее свойства коммутативных колец и связанных с ними коммутативных объектов ( модулей , идеалов , , полей ).

Ссылки

• // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Коммутативность — статья из Математической энциклопедии . Д. М. Смирнов