В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство ( наследственно несвязное , дисперсное ) — это топологическое пространство , которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером вполне несвязного пространства является множество Кантора . Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел , является поле p -адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ .

Определение

Топологическое пространство X называется вполне несвязным , если связными компонентами X являются только одноточечные множества.

Примеры

• Дискретное пространство
• Множество рациональных чисел
• Множество иррациональных чисел
• Множество p -адических чисел .
  • Более общо, вполне несвязными являются проконечные группы
• Множество Кантора
• Прямая Зоргенфрея
• Нульмерное хаусдорфово пространство
• Нульмерное T ₁ -пространство
• Экстремально несвязное хаусдорфово пространство
• Веер Кнастера — Куратовского представляет собой пример связного пространства, которое при удалении лишь одной точки становится вполне несвязным

Свойства

• Подпространства , произведения и копроизведения вполне несвязных пространств вполне несвязны.
• Вполне несвязные пространства являются T ₁ -пространствами в случае, если точки замкнуты .
• При непрерывном отображении образ вполне несвязного пространства, вообще говоря, не обязательно является вполне несвязным.
• Локально компактное хаусдорфово пространство является нульмерным тогда и только тогда, когда оно вполне несвязно.
• Любое вполне несвязное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств .

Конструирование несвязного пространства

Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное топологическое пространство. Пусть ${\displaystyle x\sim y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$ (где ${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$ обозначает максимальное связное подмножество, содержащее ${\displaystyle x}$ ). Очевидно, отношение ${\displaystyle \sim }$ является отношением эквивалентности , следовательно можно построить соответствующее факторпространство ${\displaystyle X/{\sim }.}$ Топология на ${\displaystyle X/{\sim }}$ естественным образом индуцируется топлогией на ${\displaystyle X,}$ а именно, открытые подмножества ${\displaystyle X/{\sim }}$ — это в точности те множества классов эквивалентности, прообраз которых при отображении факторизации является открытым в ${\displaystyle X.}$ Приложив немного усилий, можно показать, что ${\displaystyle X/{\sim }}$ является вполне несвязным. Мы также имеем следующее универсальное свойство : если ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ — непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, то оно единственным образом представимо в виде ${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m,}$ где отображение ${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$ непрерывно, а ${\displaystyle m}$ — отображение факторизации.

См. также

• Связное пространство
• Экстремально несвязное пространство

Ссылки

• — Encyclopedia of Mathematics , ISBN 1402006098 .