Конец топологического пространства — грубо говоря, компонента связности его «идеальной границы». То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к бесконечности в пространстве.

Добавление точки на каждом конце даёт компактификацию исходного пространства, известную как конечная компактификация .

Определение

Пусть X — топологическое пространство , и пусть

${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \dots }$

есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X , чьи внутренности покрывают X . Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

${\displaystyle U_{1}\supset U_{2}\supset \dots }$ ,

где каждое U _n — это компонента связности дополнения X \ K _n .

Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности { K _n } компактных множеств.

Примеры

• Компактное пространство не имеет концов.
• Вещественная прямая ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ имеет два конца, ∞ и −∞.
• Евклидово пространство ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что у ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K}$ есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K .
  • Более того, если М — компактное многообразие с краем , то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М .
• Объединение n лучей , исходящих из начала координат в ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}}$ , имеет n концов.
• Бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов. Эти концы можно рассматривать в качестве «кроны» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов гомеоморфно Канторову множеству .

История

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталем в 1931 году.

Вариации и обобщения

Определение конца данное выше относится только к пространствам X , которые допускают исчерпывание компактами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X — любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему { K } компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующую обратную систему связных компонент дополнений { π ₀ ( X \ K )}. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы.

Ссылки

• Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Graph-theoretical versus topological ends of graphs", Journal of Combinatorial Theory , Series B, 87 (1): 197—206, doi : , MR .
• Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", , Springer Berlin / Heidelberg, 33 : 692—713, doi : , ISSN , Zbl
• Ross Geoghegan, Topological methods in group theory , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
• Peter Scott, Terry Wall, Topological methods in group theory , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137—203.