Лемма Бёрнсайда (или лемма Коши — Фробениуса ) — классический результат комбинаторной теории групп, даёт выражение на число орбит в действии группы. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойи .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle G}$ — конечная группа , действующая на множестве ${\displaystyle X}$ . Тогда число орбит действия равно среднему количеству точек, фиксированных точек в ${\displaystyle X}$ элементами ${\displaystyle G}$ .

Точнее, для любого элемента ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ будем обозначать через ${\displaystyle X^{g}}$ множество элементов ${\displaystyle X}$ , оставляемых на месте ${\displaystyle g}$ , то есть

${\displaystyle X^{g}=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}.}$

Тогда ( натуральное число или бесконечность)

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$

здесь ${\displaystyle |X/G|}$ обозначает число орбит действия.

Доказательство

Число орбит равно ${\displaystyle \sum _{m\in X}{\frac {1}{|Orb(m)|}}}$ , но по формуле орбит ${\displaystyle |Orb(m)|=[G:G_{m}]={\frac {|G|}{|G_{m}|}}}$ , где ${\displaystyle G_{m}}$ означает стабилизатор элемента ${\displaystyle m}$ , значит, сумма равна ${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{m\in X}|G_{m}|}$ . Выпишем в столбик все элементы ${\displaystyle X}$ и напишем рядом с каждым ${\displaystyle m}$ те элементы ${\displaystyle G}$ , которые оставляют данный элемент неподвижным. Тогда произвольный элемент ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$ встретится такое же число раз, какое он оставляет элементы ${\displaystyle X}$ неподвижными, то есть в точности ${\displaystyle |X^{g}|}$ раз, а потому сумма ${\displaystyle \sum _{m\in X}|G_{m}|}$ равна сумме ${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|}$ , что и утверждалось.

Следствия

• Если действие конечной группы ${\displaystyle G}$ на множестве ${\displaystyle X}$ транзитивно , то

${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|=|G|.}$

История

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг ( 1897 год ), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда . Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.

Литература

• Burnside, William. . — Cambridge University Press , 1897.
• Burnside, William (1897) , Cambridge University Press , at Project Gutenberg and at Archive.org . (Это первое издание; введение ко второму изданию содержит известный крутой поворот Бёрнсайда в отношении полезности теорий представлений .)
• Frobenius, Ferdinand Georg (1887), "Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul", Crelle , CI : 288 .
• Neumann, Peter M. (1979), "A lemma that is not Burnside's", The Mathematical Scientist , 4 (2): 133—141, ISSN , MR .
• Rotman, Joseph (1995), An introduction to the theory of groups , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 .

Ссылки

• Р. Борчердс , на YouTube