Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва ) — неравенство в теории меры и теории вероятностей . Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

В теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры . Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова . Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства ${\displaystyle L_{p}}$ в .

Формулировки

• Пусть ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ — пространство с мерой . Пусть также
  • ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$
  • ${\displaystyle \phi (x)\geqslant 0}$ — суммируемая на ${\displaystyle A}$ функция
  • ${\displaystyle c>0}$ .

Тогда справедливо неравенство:

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}\phi (x)\mu (dx)}$ .

• В более общем виде:

Если ${\displaystyle g}$ — неотрицательная вещественная измеримая функция , неубывающая на области определения ${\displaystyle \phi }$ , то

${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{A}g\circ \phi \,\mu (dx).}$

• В терминах пространства ${\displaystyle L_{p}}$ :

Пусть ${\displaystyle \phi (x)\in L_{p}}$ . Тогда ${\displaystyle \mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.}$

Неравенство Чебышёва может быть получено как следствие из неравенства Маркова.

В теории вероятностей

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему . А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ определена на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ , а её математическое ожидание ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ конечны. Тогда

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}}$ ,

где ${\displaystyle a>0}$ .

Если ${\displaystyle a=k\sigma }$ , где ${\displaystyle \sigma }$ — стандартное отклонение и ${\displaystyle k>0}$ , то получаем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}}$ .

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше ${\displaystyle 25\%}$ . Отклоняется от среднего на ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью меньше ${\displaystyle 11.12\%}$ . Иными словами, случайная величина укладывается в ${\displaystyle 2}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 75\%}$ и в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения с вероятностью ${\displaystyle 88.88\%}$

Для важнейшего случая (англ.) ( распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница в ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включает ${\displaystyle 95.06\%}$ значений случайной величины. В отличие от нормального распределения , где ${\displaystyle 3}$ стандартных отклонения включают ${\displaystyle 99.73\%}$ значений случайной величины.

См. также

• Оценка Чернова

Литература

• Колмогоров, А. Н. , Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М. : Наука, 1976. — 544 с.
• коллектив авторов. Московский математический сборник. — М. , 1867. — Т. 2.

Ссылки