Прыжки Виета ( отражение корней ) — метод доказательства , используемый в теории чисел ; наиболее часто применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое связанное с ними утверждение. Существует несколько вариаций метода, которые так или иначе связаны с общей темой бесконечного спуска , где из данного решения находится новое (меньшее) решение с помощью формул Виета .

История

Прыжки Виета — это классический метод использующийся в теории квадратных диофантовых уравнений и бинарных квадратичных форм . Например, он использовался в 1879 году в анализе уравнения Маркова и в статье Миллса 1953 года .

В 1988 году метод прыжков Виета приобрёл популярность для решения олимпиадных математических задач , когда первая такая задача была предложена на 29-й международной математической олимпиаде , причём эта задача считалась наиболее сложной из предложенных на олимпиаде:

Среди одиннадцати школьников, получивших максимальный балл за решение этой задачи, был будущий Филдсовский лауреат Нго Бао Тяу (16 лет) . Два других будущих Филдсовских лауреата , Теренс Тао (12 лет) и Элон Линденштраусс (17 лет), на шестой задаче заработали всего по одному баллу .

Стандартные прыжки Виета

Стандартные прыжки Виета проводят доказательство от противного в три шага:

1. Предполагается, что существуют числа, связанные данным соотношением, но не удовлетворяющие доказываемому утверждению.
2. Рассматривается минимальное решение ( A , B ) относительно некоторой функции (например, A + B ). Затем исходное соотношение преобразуется в квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от B , и один из корней которого равен A . Используя формулы Виета, находится второй корень этого уравнения.
3. Показывается, что второй корень даёт решение, которое имеет меньшее значение выбранной функции. Таким образом, получается противоречие с минимальностью значения функции на исходном решении, а поэтому предположение из шага 1 является ложным.

Пример

ММО 1988, задача № 6. Пусть a и b — положительные целые числа такие, что ab + 1 делит a ² + b ² . Докажите, что a ² + b ² / ab + 1 — это полный квадрат .

1. Пусть k = a ² + b ² / ab + 1 . Предположим, что существует какое-то решение, для которого k не является полным квадратом.
2. Для такого значения k , рассмотрим решение ( A , B ) , минимизирующее значение A + B . Без потери общности можно считать, что A ≥ B . Переписывая выражение для k и заменяя A на x , получаем квадратное уравнение x ² – ( kB ) x + ( B ² – k ) = 0 . По построению x ₁ = A является корнем этого уравнения. По формулам Виета второй корень может быть представлен в виде x ₂ = kB – A = B ² – k / A .
3. Из первого выражения для x ₂ следует, что x ₂ является целым числом, а из второго — что x ₂ ≠ 0 . Так как k = x ₂ ² + B ² / x ₂ B + 1 > 0 , то x ₂ является положительным. Наконец, из A ≥ B следует, что x ₂ = B ² − k / A < A и поэтому x ₂ + B < A + B , что противоречит минимальности решения ( A , B ) .

Непрерывный спуск прыжками Виета

Метод непрерывного спуска прыжками Виета используется для доказательства некоторого утверждения о постоянной k , зависящей от соотношения между целыми числами a и b . В отличие от стандартных прыжков Виета, непрерывный спуск не является доказательством от противного и состоит из следующих четырёх шагов :

1. Отдельно рассматривается случай равенства a = b . В дальнейшем предполагается, что a > b .
2. Фиксируются значения b и k . Соотношение между a , b и k приводится к форме квадратного уравнения с коэффициентами зависящими от b и k , одним из корней которого является x ₁ = a . Другой корень x ₂ определяется с помощью формул Виета.
3. Показывается, что для всех ( a , b ) больших некоторых базовых значений, выполняется неравенство 0 < x ₂ < b < a , причём x ₂ является целым числом. Таким образом, от решения ( a , b ) можно спуститься к решению ( b , x ₂ ) и повторять этот процесс, пока не получится решение с базовыми значениями.
4. Утверждение доказывается для базовых значений. Так как k остаётся неизменным в процессе спуска, отсюда следует справедливость доказываемого утверждения для всех упорядоченных пар ( a , b ) .

Пример

Пусть положительные целые числа a и b таковы, что ab делит a ² + b ² + 1 . Требуется доказать, что 3 ab = a ² + b ² + 1 .

1. Если a = b , то a ² должно делить 2 a ² + 1 . Откуда a = b = 1 и поэтому 3(1)(1) = 1 ² + 1 ² + 1 . В дальнейшем без потери общности считаем, что a > b .
2. Пусть k = a ² + b ² + 1 / ab . Преобразованием этого равенства и заменой a на x , получаем квадратное уравнение x ² − ( kb ) x + ( b ² + 1) = 0 , одним из корней которого является x ₁ = a . По формулам Виета второй корень может быть представлен в виде: x ₂ = kb − a = b ² + 1 / a .
3. Первое представление показывает, что x ₂ является целым числом, а второе представление, что это число положительно. Неравенство a > b влечёт, что x ₂ = b ² + 1 / a < b , если b > 1 .
4. Таким образом, базовым случаем является значение b = 1 . При этом значение a должно делить a ² + 2 , и поэтому a равно 1 или 2. Случай a = 1 невозможен, поскольку a ≠ b . В случае a = 2 имеем k = a ² + b ² + 1 / ab = 6 / 2 = 3 . Так как значение k не менялось в процессе спуска, получаем, что a ² + b ² + 1 / ab = 3 , то есть 3 ab = a ² + b ² + 1 , для всех упорядоченных пар ( a , b ) .

Геометрическая интерпретация

Прыжки Виета могут быть описаны в терминах целых точек на гиперболах в первом квадранте . При этом процесс нахождения меньшего корня соответствует поиску меньших целых точек на гиперболе в пределах первого квадранта. Этот процесс может быть описан следующим образом:

1. Из данного условия получается уравнение семейства гипербол, которые не изменяются при перестановке x и y местами. Другими словами, эти гиперболы симметричны относительно прямой y = x .
2. Требуемое утверждение доказывается для точек пересечения гипербол и прямой y = x .
3. Предполагается, что ( x , y ) — целая точка на некоторой гиперболе, причём без потери общности x < y . Тогда по формулам Виета, находится целая точка тем же значением первой координаты на другой ветви гиперболы. Тогда отражением этой точки относительно прямой y = x получается новая целая точка на исходной ветви гиперболы.
4. Показывается, что этот процесс приводит к нахождению меньших точек на той же ветви гиперболы, пока выполняется определённое условие (например, x = 0 ). Подставляя это условие в уравнение гиперболы, проверяется, что для него выполняется доказываемое утверждение.

Пример

Применим описанный метод к задаче № 6 с ММО 1988: Пусть a и b — положительные целые числа такие, что ab + 1 делит a ² + b ² . Докажите, что a ² + b ² / ab + 1 — это полный квадрат .

1. Пусть a ² + b ² / ab + 1 = q . Зафиксируем значение q и рассмотрим гиперболу H , задаваемую уравнением x ² + y ² − qxy − q = 0 . Тогда ( a , b ) является точкой на этой гиперболе.
2. Если x = y , то x = y = q = 1 , что тривиально удовлетворяет утверждению задачи.
3. Пусть ( x , y ) — это целая точка на «верхней» ветви гиперболы H с x < y . Тогда из формул Виета следует, что ( x , qx − y ) — это целая точка на «нижней» ветви гиперболы H . Отражением этой точки является точка ( qx − y , x ) на исходной «верхней» ветви. У полученной точки вторая координата меньше чем у исходной, а значит она находится ниже исходной точки.
4. Этот процесс может быть повторен. Из уравнения гиперболы H следует, что при этом получаемые точки остаются в пределах первого квадранта. Таким образом, повторение процесса закончится при получении значения x = 0 . Его подстановка в уравнение гиперболы H даёт q = y ² , что и требовалось доказать.

См. также

• Формулы Виета
• Доказательство от противного
• Метод бесконечного спуска
• Число Маркова
• Сетка Аполлония

Примечания

Ссылки

• К. Кноп, , Элементы.ру

В этой статье имеется избыток цитат либо слишком длинные цитаты . Излишние и чрезмерно большие цитаты следует обобщить и переписать своими словами. Возможно, эти цитаты будут более уместны в Викицитатнике или в Викитеке .