Теорема Амицура — Левицкого — утверждение о равенстве нулю стандартного многочлена степени ${\displaystyle 2n}$ от произвольных матриц порядка ${\displaystyle n}$ . Установлена и доказана ( ивр. ‎) и Яковом Левицким в 1950 году . Прямое следствие этого результата — матрицы порядка ${\displaystyle n}$ образуют с минимальной степенью тождеств, равной ${\displaystyle 2n}$ .

Определения и формулировка

Стандартный многочлен степени ${\displaystyle n}$ — это:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }x_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n}\ }$ ,

где сумма берётся по всем ${\displaystyle n!}$ элементам симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ . Здесь ${\displaystyle (-1)^{\sigma }}$ означает знак перестановки ${\displaystyle \sigma }$ , при этом ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ не коммутируют.

Теорема Амицура — Левицкого утверждает, что для произвольных матриц ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{2n}}$ порядка ${\displaystyle n}$ стандартный многочлен обращается в нуль:

${\displaystyle S_{2n}(A_{1},\ldots ,A_{2n})=0}$ .

Доказательства

Амицур и Левицкий дали первое доказательство теоремы в 1950 году.

( англ. ) в 1958 году вывел теорему Амицура — Левицкого из о простых когомологиях алгебр Ли .

( англ. ) в 1963 году дал простое комбинаторное доказательство :

Ввиду линейности достаточно доказать теорему для случая, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, равный 1. В этом случае каждая матрица может быть представлена как направленная дуга графа с ${\displaystyle n}$ вершинами. Все матрицы вместе дают граф с ${\displaystyle n}$ вершинами и ${\displaystyle 2n}$ направленными дугами. Тождество теоремы равносильно утверждению, что для любых двух вершин ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ графа число нечётных эйлеровых путей из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$ равно числу чётных . Сван показал, что при числе рёбер в графе ${\displaystyle 2n}$ и более число чётных и нечётных путей равно, откуда следует результат теоремы.

в 1974 году построил доказательство, опирающееся на теорему Гамильтона — Кэли .

в 1976 году дал короткое доказательство, использующее внешнюю алгебру векторного пространства размерности ${\displaystyle 2n}$ .

Примечания

Ссылки

• A. S. Amitsur, Jakob Levitzki. // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1950. — Т. 1 . — С. 449—463 . — ISSN . — doi : . — JSTOR .
• A. S. Amitsur, Jakob Levitzki. // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1951. — Т. 2 . — С. 320—327 . — ISSN . — JSTOR .
• Edward Formanek. The polynomial identities and invariants of n × n matrices. — Providence, RI: American Mathematical Society , 1991. — Т. 78 . — ISBN 0-8218-0730-7 .
• Bertram Kostant. A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur–Levitski and cohomology theory // J. Math. Mech. — 1958. — Т. 7 . — С. 237—264 . — doi : .
• Ю. П. Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1974. — Т. 38 . — С. 727 . — ISSN . — doi : .
• Shmuel Rosset. A new proof of the Amitsur–Levitski identity // Israel Journal of Mathematics. — 1976. — Т. 23 . — С. 187—188 . — ISSN . — doi : .
• Richard G. Swan. // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1963. — Т. 14 . — С. 367—373 . — JSTOR .
• Richard G. Swan. // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1969. — Т. 21 . — С. 379—380 . — ISSN . — doi : .