Interested Article - Равномерная плотность
![](/images/008/222/8222196/1.jpg?rand=449842)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/6a9eefbaf125c6defe001275ae752476.gif)
- 2021-04-19
- 1
Равномерная плотность — свойство семейства мер ; формализует то, что семейство не убегает на бесконечность .
Определение
Пусть — Хаусдорфово пространство , и пусть — сигма-алгебра на , включающая открытые (а значит и борелевские) множества. Пусть — семейство мер, определенных на . Семейство называется равномерно плотным, если для любого существует компактное подмножество в , такое, что для всех мер выполняется неравенство
здесь — это вариация меры .
Замечания
-
Часто предполагается, что меры вероятностные; в этом случае ключевое неравенство можно переписать как
- Если равномерно плотное семейство состоит из одной меры , то сама мера называется плотной.
- Если — это -значная случайная величина , у которой распространение является плотной мерой на , то говорят, что радонова случайная величина .
Примеры
-
Любое семейство мер на
компактном
метризуемом пространстве
равномерно плотна.
- Это не обязательно верно для неметризуемых пространств.
-
Если
—
польское пространство
, то любая вероятностная мера плотна.
- Согласно теореме Прохорова , семейство вероятностых мер на равномерно плотно, тогда и только тогда, когда это оно предкомпактно в топологии слабой сходимости.
Литература
- Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/6a9eefbaf125c6defe001275ae752476.gif)
- 2021-04-19
- 1