Пример Помпею
— пример дифференцируемой
функции
,
производная
которой (
производная Помпею
) обращается в ноль на
плотном множестве
.
В частности, производная Помпею разрывна в любой точке, где она не равна 0.
Содержание
История
Вопрос о том, могут ли существовать такие функции, не являющиеся тождественно нулевыми, возник в контексте исследований функциональной дифференцируемости и
интегрируемости
в начале 1900-х годов.
На этот вопрос утвердительно ответил
Димитри Помпейу
, построив явный пример.
с точностью до выбора
a
0
мы можем считать
g
(0) = 0
и с точностью до выбора мультипликативного множителя можем считать, что
g
отображает интервал
[0, 1]
на
себя.
Поскольку
g
строго возрастает, он
инъективен
и, следовательно,
гомеоморфизм
.
По теореме о дифференцировании
обратной функции обратная к ней функция
f
:=
g
−1
имеет конечную производную в любой точке, которая обращается в нуль по крайней мере в точках
{
g
(
q
j
)}
j
∈ℕ
.
Они образуют плотное подмножество
[0, 1]
(на самом деле производная обнуляется на большем множестве, см. Свойства).
Свойства
Поскольку множество нулей производной любой всюду дифференцируемой функции является
G-дельта-множеством
, для любой функции Помпею это множество является
плотным
G-дельта-множеством. В частности, по
теореме Бэра
оно
несчетно
.
Линейная комбинация
функций Помпею имеет производную и обращается в нуль на множестве
, которое является плотным G-дельта-множеством. Таким образом, функции Помпею образуют
векторное пространство
.
Предельная функция
равномерно сходящейся
последовательности
производных Помпею является производной Помпею. Действительно, это производная по теореме о пределе под знаком производной. Более того, она обращается в нуль на
пересечении
нулевых множеств функций последовательности: поскольку это плотные G-дельта-множества, нулевое множество предельной функции также плотно.
Вышеупомянутая конструкция Помпею
положительна
, что является редким свойством: теорема Вейля утверждает, что в
общем случае
производная Помпейу принимает как положительные, так и отрицательные значения в плотных множествах, в точном смысле, что такие функции составляют плотное G-дельта-множество банахова пространство
E
.