Interested Article - Оценки Шаудера

Оценки Шаудера — оценки на норму Гёльдера решений линейных равномерно эллиптических уравнений в частных производных .

Получены Юлиушем Шаудером . Эти оценки используются в доказательстве существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в частных производных.

Обозначения

Пусть Суп-норма непрерывной функции определяется как

Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем , то есть обычная полунорма Гёльдера определяется как

Сумма двух является полной нормой Гёльдера функции

Для дифференцируемых функций u необходимо учитывать нормы высших порядков, включая производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными, определяется как

где обозначает мультииндекс , а .

Для функций с производными k- го порядка, непрерывных по Гёльдеру с показателем , соответствующая полунорма определяется как

что дает полную норму

Для внутренних оценок нормы берутся с весами по расстоянию до границы.

в той же степени, что и производная, а полунормы берутся с весом

возведённым в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением

Ещё требуется норма с добавочной степенью при весах:

Формулировка

Внутренняя оценка

Рассмотрим ограниченное решение в области к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка

где исходный член удовлетворяет . Предположим, что уравнение строго эллиптично, то есть существует постоянная такая что

для всех

а все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой

Тогда взвешенную -норму u можно оценить через суп-норму u и норму Гёльдера f :

Граничные оценки

Пусть есть -гладкая область (то есть около любой точки на границе области граничная поверхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как график функции), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией что также по крайней мере . Затем с учетом тех же условий на коэффициенты, что и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера для u управляется невзвешенными нормами исходного члена, граничных данных и супремум-нормы u :

При этом, если решение u удовлетворяет принципу максимума, то первый член в правой части можно опустить.

Литература

  • Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (in German), Berlin, Germany: Springer-Verlag, 38 (1), pp. 257–282, doi:10.1007/BF01170635 MR1545448
  • Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" ( PDF ), Studia Mathematica (in German), Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, pp. 34–42
  • Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
  • Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Elliptic Partial Differential Equations, New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, ISBN 0-9658703-0-8 , OCLC 38168365 MR1669352
Источник —

Same as Оценки Шаудера