Interested Article - Теорема сравнения Штурма

Теорема сравнения Штурма — классическая теорема, дающая критерий неосцилляции решений некоторых линейных дифференциальных уравнений .

Названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма . Расширенная версия теоремы, сформулированная ниже, была получена .

Формулировка

Пусть p _i , q _i i = 1, 2 , — вещественнозначные непрерывные функции на интервале [ a , b ] и пусть

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

— два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

и

q_{2}(x)\geq q_{1}(x).

Пусть u — нетривиальное решение (1) с последовательными корнями в z ₁ и z ₂ и пусть v — нетривиальное решение (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств:

Существует x в ( z ₁ , z ₂ ) такие, что v ( x ) = 0; или же
Решения u и v пропорциональны; то есть существует λ в R такое, что v ( x ) = λ u ( x ) .

См. также

Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии получаемый применением теоремы сравнения Штурма.

Примечания

C. Sturm, Mémoire sur les équations différentielles linéaires du second ordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106–186
M. Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine, Ann. Scuola Norm. Pisa 11 (1909), 1–141.