Теорема Нэша — Мозера — одно из обобщений теоремы об обратной функции . Вариант этой теоремы был использован Джоном Форбсом Нэшем при доказательстве теоремы о регулярном вложении . Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Юрген Мозер показал, что метод Нэша применим для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории Колмогорова — Арнольда — Мозера . На сегодняшний день существует несколько версий формулировки, принадлежащие Громову , Гамильтону , Хермандеру , Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту.

Одно из доказательств теоремы основано на использовании модифицированного варианта процесса Ньютона нахождения решения уравнения. Другие подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве.

Идея доказательства

Этот раздел предназначен только для описания идеи и поэтому намеренно неточен.

Предположим, что ${\displaystyle P}$ — дифференциальный оператор первого порядка определённый на гладких функциях между векторными пространствами , так что он определяет отображение ${\displaystyle P\colon C^{k+1}\to C^{k}}$ для каждого ${\displaystyle k}$ . Предположим, что при некоторой функции ${\displaystyle f_{0}\in C^{k+1}}$ линеаризация ${\displaystyle D_{f}P\colon C^{k+1}\to C^{k}}$ имеет правый обратный оператор ${\displaystyle S_{f}\colon C^{k}\to C^{k}}$ для любой функции ${\displaystyle f}$ , достаточно близкой к ${\displaystyle f_{0}}$ .

Заметим, что композиция ${\displaystyle S_{f}\circ D_{f}P}$ и теряет одну производную то есть отображает ${\displaystyle C^{k+1}}$ в ${\displaystyle C^{k}}$ . Из этого можно увидеть, что попытки использовать метод Ньютона для нахождения решения ${\displaystyle P(f)=g_{\infty }}$ терпят провал. То есть если ${\displaystyle (f_{n})}$ — последовательность функций определяемая итеративно

${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},}$

то из ${\displaystyle f_{0}=f\in C^{k+1}}$ следует, что ${\displaystyle g_{\infty }-P(f_{0})\in C^{k}}$ , и тогда ${\displaystyle f_{1}\in C^{k}}$ . По тем же соображениям, ${\displaystyle f_{2}\in C^{k-1}}$ , ${\displaystyle f_{3}\in C^{k-2}}$ , и так далее. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, так как она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.

Для решения этой задачи, Нэш использует сглаживающий оператор ${\displaystyle \theta _{n}}$ который для данной функции ${\displaystyle f}$ , возвращает гладкую функцию ${\displaystyle \theta _{n}(f_{n})}$ близкую к исходной, если ${\displaystyle n}$ велико. Затем определяется «сглаженная» итерация Ньютона

${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}.}$

Этот модифицированный процесс не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций , которая никогда не теряет регулярности.

При правильно выбранных сглаживающих операторах, эта последовательность действительно сходится к решению ${\displaystyle f_{\infty }}$ ; то есть ${\displaystyle P(f_{\infty })=g_{\infty }}$ .

Литература

• М. Л. Громов . (рус.) // Матем. сб.. — 1972. — Т. 88(130) , № 3(7) . — С. 382–441 .

• Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. — М. : Мир, 1990. — 536 с. — ISBN 5-03-001297-4 , 3-540-12177-3.

• Дж. Нэш . // УМН . — 1971. — Т. 26 , № 4(160) . — С. 173—216 .

• (1982), (PDF-12MB) , Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) , 7 (1): 65—222, doi : , MR

• (1976), "The boundary problems of physical geodesy", Arch. Rational Mech. Anal. , 62 (1): 1–52, MR
  • Hörmander, L. (1977), "Correction to: "The boundary problems of physical geodesy" ", Arch. Rational Mech. Anal. , 65 (44): 395, MR

• Moser, Jürgen (1966a), , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 20 : 265—315, MR

• Moser, Jürgen (1966b), , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 20 : 499—535, MR

• Nash, John (1956), "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics , 63 (1): 20—63, doi : , JSTOR , MR .

• Saint-Raymond, Xavier (1989), "A simple Nash-Moser implicit function theorem", Enseign. Math. (2) , 35 (3–4): 217–226, MR

• (1960), "On Nash's implicit functional theorem", Comm. Pure Appl. Math. , 13 : 509–530, MR

• Sergeraert, Francis (1972), "Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications", Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) , 5 : 599–660, MR

• , "Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. I", Comm. Pure Appl. Math. , 28 : 91–140, MR

• , "Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II", Comm. Pure Appl. Math. , 29 (1): 49–111, MR