Задача Куратовского — классическое упражнение в общей топологии, основанное на результате Казимира Куратовского .

Формулировки

Оригинальная

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и дополнения .

Вариация

Найти максимальное число различных множеств, которые можно получить из одного применяя только операции замыкания и внутренности .

Решение

Ответы в задачах соответственно 14 и 7. В обоих формулировках, максимальное число подмножеств достигается для следующего подмножества вещественной прямой с обычной топологией:

${\displaystyle (0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},}$

Для второй формулировки, максимальность следует из соотношений на замыкание ${\displaystyle c}$ и внутренность ${\displaystyle i}$

${\displaystyle cc(S)=c(S),}$

${\displaystyle ii(S)=i(S),}$

${\displaystyle icic(S)=ic(S),}$

${\displaystyle cici(S)=ci(S).}$

Последние два тождества легко следуют из первых двух и следующих двух соотношений:

если ${\displaystyle A\subset B}$ , то ${\displaystyle c(A)\subset c(B)}$ и ${\displaystyle i(A)\subset i(B)}$ .

Поскольку ${\displaystyle i(S)^{\complement }=c(S^{\complement })}$ , то есть дополнение внутренности равно замыканию дополнения, максимальность в обоих формулировках эквивалентна.

Рекомендации

Литература

• B. J. Gardner et Marcel Jackson,
• Mark Bowron