Interested Article - Неравенство Пу

Неравенство Пу даёт нижнюю оценку на площадь проективной плоскости с римановой метрикой через длину кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой. Является одним из фундаментальных утверждений систолической геометрии.

Неравенство доказал Баомин Пу в своей диссертации защищённой под руководством Чарльза Левнера

Формулировки

Оригинальная

Пусть есть риманова метрика на вещественной проективной плоскости . Тогда

где — площадь , a — его ситоль, то есть длина кратчайшей нестягиваемой кривой в .

Более того равенство достигается только для канонической метрики с точностью до умножения на положительную постоянную.

Через филинг-объём

Филинг окружности длины диском имеет площадь не меньше чем площадь полусферы. Более того, в случае равенства диск изометричен полусфере.

Замечание

  • Гипотеза Громова состоит в том, что тоже неравество выполняется для произвольных филингов (не обязательно гомеоморфных диску).

Литература

  • Mikhael; Gromov. (неопр.) // J. Differential Geom. . — 1983. — Т. 18 , № 1 . — С. 1—147 .
  • Gromov, Mikhael (1996). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) . Vol. 1. pp. 291–362. MR .
  • Gromov, Misha. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces (англ.) . — 1999. — Vol. 152.
  • Katz, Mikhail G. Systolic geometry and topology (неопр.) . — 2007. — Т. 137.
  • Pao Ming; Pu. (англ.) // Pacific J. Math. : journal. — 1952. — Vol. 2 , no. 1 . — P. 55—71 .
Источник —

Same as Неравенство Пу