Инъективная оболочка — конструкция в метрической геометрии, дающая наименьшее инъективное метрическое пространство , включающее данное метрическое пространство. Эта конструкция во многом аналогична конструкции выпуклой оболочки для множеств в евклидовом пространстве .

Инъективная оболочка была впервые описана Джоном Исбелом в 1964 году. Позже была переоткрыта несколько раз.

Построение

На данном метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ рассматриваются все функции ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ такие, что

${\displaystyle f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|}$ для любых ${\displaystyle x,y\in M}$ ,

для любого ${\displaystyle x\in M}$ существует ${\displaystyle y\in M}$ такое, что ${\displaystyle f(x)+f(y)-|x-y|_{M}}$ произвольно мало.

Далее множество этих функций снабжается метрикой

${\displaystyle |f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.}$

Полученное метрическое пространство ${\displaystyle W}$ называется инъективной оболочкой ${\displaystyle M}$ .

Замечания

• Пространство ${\displaystyle M}$ можно рассматривать как подпространство ${\displaystyle W}$ ; необходимое отображение ${\displaystyle M\to W}$ получается сопоставлением каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ её дистанционной функции ${\displaystyle z\mapsto |x-z|_{M}}$ .

Свойства

• Инъективная оболочка является инъективным пространством .

• Инъективная оболочка компактного пространства компактна.
  • В частности, любое компактное пространство является подпространством компактного пространства с внутренней метрикой .

• Пусть ${\displaystyle {\hat {X}}}$ и ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ — инъективные оболочки компактных метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ . Тогда

  ${\displaystyle d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),}$

где ${\displaystyle d_{GH}}$ обозначает метрику Громова — Хаусдорфа .

• Константа 2 в этом неравенстве является оптимальной.

• Инъективная оболочка банахова пространства является банаховым пространством.

Примечания