Псевдоокружность — конечное топологическое пространство , неотличимое от окружности с точки зрения алгебраической топологии .

Построение

Псевдоокружность состоит из четырёх точек ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ и наделена топологией со следующими открытыми множествами:

${\displaystyle \left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \right\}}$ .

Замечания

• Эту топологию можно определить через частичный порядок ${\displaystyle a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d}$ , где открыть наборы замкнутых множеств

Свойства

• С точки зрения общей топологии , псевдоокружность — патологическое пространство, так как оно не удовлетворяет ни одной из аксиом отделимости , кроме Т ₀ .
• Непрерывное отображение ${\displaystyle f}$ из окружности ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{\,(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\,\}}$ в псевдоокружность, определяемое как

  ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}a\quad x<0\\b\quad x>0\\c\quad (x,y)=(0,1)\\d\quad (x,y)=(0,-1)\end{cases}}}$ ,

есть слабая гомотопическая эквивалентность . В частности, ${\displaystyle f}$ индуцирует изоморфизмы всех гомотопических групп , а также изоморфизм на сингулярные гомологиях и когомологиях и вообще изоморфизм для всех теорий гомологий и когомологий .

Вариации и обобщения

• Павел Сергеевич Александров показал, что для любого конечного симплициального комплекса К существует конечное топологическое пространство Х _К , которое имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация | К | .

Ссылки