Объём Малера — характеристика Центрально-симметричного выпуклого тела. Названа в честь .

Нерешённая гипотеза Малера утверждает, что минимальный возможный объём Малера имеет куб .

Определение

Выпуклое тело в Евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью.

Если ${\displaystyle B}$ есть центрально-симметричное выпуклое тело в n -мерном евклидовом пространстве , то двойственное тело ${\displaystyle B^{*}}$ другое центрально-симметричного тело в том же пространстве, определяемая как

${\displaystyle B^{*}=\left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}y\in B\right\}.}$

Объём Малера ${\displaystyle B}$ является произведением объёмов ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ .

Примеры

• Единичный шар является самодвойственным. Поэтому объём Малера единичного шара есть квадрат его объёма.

  ${\displaystyle {\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}.}$

где Γ обозначает гамма-функцию .

• Такой же объём Малера имеет любой эллипсоид

• Двойственное тело для куба есть октаэдр. Отсюда несложно вычислить что объём Малера куба (также как и октаэдра) есть ${\displaystyle {\tfrac {4^{n}}{n!}}}$ .
  • Согласно формуле Стирлинга , объём Малера шара превышает объем Малера куба примерно в ${\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}}$ раз.

Свойства

• Объём Малера являющееся безразмерной величиной инвариантой относительно линейных преобразований .
• По неравенству Бляшке — Сантало , шар имеет максимальный объёмом Малера.

Ссылки

• Bourgain, J.; Milman, V. D. (1987), "New volume ratio properties for convex symmetric bodies in R ⁿ ", Inventiones Mathematicae , 88 (2): 319—340, doi : , MR .

• Santaló, L. A. (1949), "An affine invariant for convex bodies of n -dimensional space", Portugaliae Math. (In Spanish) , 8 : 155—161, MR {{ citation }} : |format= требует |url= ( справка ) .

• Tao, Terence (March 8, 2007), от 16 февраля 2019 на Wayback Machine . Revised and reprinted in (2009), "3.8 Mahler's conjecture for convex bodies", Structure and Randomness: Pages from Year One of a Mathematical Blog , American Mathematical Society , pp. 216—219, ISBN 978-0-8218-4695-7 .