Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке ${\displaystyle t>0}$ совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки ), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в ${\displaystyle t}$ раз .

Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии ${\displaystyle k=1}$ ) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика .

Названы в честь , который изучал их в 1960-х годах.

Определение

Пусть ${\displaystyle P}$ — многогранник с целыми вершинами, и ${\displaystyle t\cdot P}$ — его гомотетия с целым коэффициентом ${\displaystyle t}$ . Обозначим через ${\displaystyle L_{P}(t)}$ число целых точек в ${\displaystyle t\cdot P}$ . Можно доказать, что число ${\displaystyle L_{P}(t)}$ выражается как многочлен от ${\displaystyle t}$ ; этот многочлен и называется многочленом Эрара .

Примеры

• ${\displaystyle L_{Q}(t)=(t+1)^{d}}$ для единичного целого ${\displaystyle d}$ -мерного куба ${\displaystyle Q}$ .

Свойства

• (Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в ${\displaystyle t\cdot P}$ равно

  ${\displaystyle (-1)^{d}\cdot L_{P}(-t),}$

где d — размерность P .

• Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )}$ , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.

• Для любого ${\displaystyle d}$ -мерного многогранника ${\displaystyle P}$ , три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию
  • свободный член многочлена Эрара равен 1.
  • Главный коэффициент при ${\displaystyle t^{d}}$ равен объёму многогранника.
  • Коэффициент при ${\displaystyle t^{d-1}}$ равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
• В частности, при ${\displaystyle d=2}$ многочлен Эрара многоугольника равен

  ${\displaystyle S\cdot t^{2}+{\tfrac {\Gamma }{2}}\cdot t+1,}$

где ${\displaystyle S}$ есть площадь многоугольника, а ${\displaystyle \Gamma }$ — число целочисленных точек на его границе. Подставив ${\displaystyle t=1}$ , получаем формулу Пика .

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Г. А. Мерзон. // Сборник « Математическое просвещение ». Третья серия. — 2017. — Вып. 21. — С. 104—118.