Джойн (от англ. join — «соединение») — конструкция в топологии , по двум топологическим пространствам дающая третье. Интуитивная интерпретация джойна — это множество всех отрезков, начинающихся в любой точке первого множества и заканчивающихся в любой точке второго.

Определение

Для двух топологических пространств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ джойн ${\displaystyle A\ast B}$ определяется как факторпространство

${\displaystyle (A\times B\times [0,1])/\sim ,}$

по минимальному отношению эквивалентности « ${\displaystyle \sim }$ » такому, что

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{при}}\quad a\in A\quad {\mbox{и}}\quad b_{1},b_{2}\in B,}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{при}}\quad a_{1},a_{2}\in A\quad {\mbox{и}}\quad b\in B.}$

Таким образом, отображение из ${\displaystyle (A\times B\times [0,1])/\sim ,}$ в джойн стягивает ${\displaystyle A\times B\times \{0\}}$ на ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A\times B\times \{1\}}$ на ${\displaystyle B}$ .

Примеры

• Джойн пространства ${\displaystyle A}$ и точки ${\displaystyle pt}$ называется конусом над ${\displaystyle A}$ и обозначается ${\displaystyle C(A)}$ .
• Джойн пространства ${\displaystyle A}$ и нуль-мерной сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}}$ (то есть дискретного пространства из двух точек) называется надстройкой над ${\displaystyle A}$ и обозначается ${\displaystyle \mathbb {S} (A)}$ .
• Джойн двух сфер ${\displaystyle \mathbb {S} ^{m}}$ и ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ — это сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{m+n+1}}$ .

Свойства

• Конус над джойном двух пространств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ гомеоморфен произведению их конусов. Иначе говоря,

  ${\displaystyle C(A\ast B)\cong C(A)\times C(B).}$

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : Фазис, 1997. — 132 с.
• Хатчер А. Алгебраическая топология = Algebraic Topology. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.